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专题一 规律探索题,图形累加规律和图形周期变化规律,类型二 图形累加规律 (遵义2018.16;铜仁2016.18;安顺2016、2015.18),典例精讲,例 (2018自贡)观察下列图中所示的一系列图形,它们是按一定规律排列的,依照此规律,第2018个图形中共有_个 .,6055,【解析】由题图可知,第1个图形中共有(311)个; 第2个图形中共有(321)个; 第3个图形中共有(331)个; 第4个图形中共有(341)个; 则第 n 个图形共有(3n1)个 所以第2018个图形共有3201816055个,【方法指导】 1写序号:记每组图形的序数为“1,2,3,n”(如题图中的图分别标为图,图,图,); 2数图形个数:在图形数量变化时,要记录每组图形个数(图,图,图,分别是由几个图形组成); 3寻找图形数量与序数n的关系: 观察所给图形和上一个图(基础图),找出增加的部分; 将增加的图形个数用含序数的式子表示出来; 归纳出含有序数n的关系式,针对演练,1. (2018烟台)如图所示,下列图形都是由相同的玫瑰花按照一定的规律摆成的,按此规律摆下去,第n个图形中有120朵玫瑰花,则n的值为 ( ) A. 28 B. 29 C. 30 D. 31,第1题图,C,2. (2018重庆B卷)下列图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成,其中第个图中有3张黑色正方形纸片,第个图中有5张黑色正方形纸片,第个图中有7张黑色正方形纸片,按此规律排列下去,第个图中黑色正方形纸片的张数为 ( ) A. 11 B. 13 C. 15 D. 17,第2题图,B,3. (2018随州)我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别称作“三角形数”(如1,3,6,10,)和“正方形数”(如1,4,9,16,),在小于200的数中,设最大的“三角形数”为m,最大的“正方形数”为n,则mn的值为 ( ) A. 33 B. 301 C. 386 D. 571,三角形数,正方形数,C,I. 每两个数字之间的差以1为单位递增:1,3,6,10,15,21,28, (n1),M=190 n=196,4. (2018青海省卷)如图,下列图案是由火柴棒按某种规律搭成的,第(1)个图案中有2个正方形,第(2)个图案中有5个正方形,第(3)个图案中有8个正方形,则第(5)个图案中有 个正方形,第(n)个图案中有 个正方形,14,3n1,第4题图,5. (2018赤峰)观察下列一组由排列的“星阵”,按图中规律,第n个“星阵”中的个数是 ,4,n2+n+2,8,14,22,6. (2017潍坊)如图,自左至右,第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成;第2个图由2个正六边形、11个正方形和10个等边三角形组成;第3个图由3个正六边形、16个正方形和14个等边三角形组成;按照此规律,第n个图中正方形和等边三角形的个数之和为 个,9n+3,分两组:第一组正方形:6,11,16,22 第二组三角形:6,10,14,18,类型三 图形周期变化规律 (遵义2014.16),典例精讲,例1 观察下列图形的排列顺序,已知第一个图形是正方形,则第2019个图形是_.,例 1 题图,三角形,【解析】观察题图可知,图形的排列顺序为7个图形一组循环排列,所以201972883,第2019个图形是第288组余3个,也就是第289组的第三个图形,是三角形,例2 如图,已知菱形OABC的顶点O(0,0),B(2,2),若菱形绕点O逆时针旋转,每秒旋转45,则第60秒时,菱形的对角线交点D的坐标为( ) A. (1,1) B. (1,1) C. ( ,0) D. (0, ),例 2 题图,B,【解析】菱形OABC的顶点O(0,0),B(2,2),BO与x轴的夹角为45,菱形的对角线互相垂直平分,点D 是线段OB的中点,点D 的坐标是(1,1) ,菱形绕点O逆时针旋转,每秒旋转45,360458,每旋转8秒,菱形的对角线交点就回到原来的位置(1,1),60874,第 60 秒时是把菱形绕点O逆时针旋转了7周回到原来位置后,又旋转了4秒,即又旋转了445180,点D的对应点落在第三象限,且对应点与点D关于原点O成中心对称,第60秒时,菱形的对角线交点D的坐标为(1,1),【方法指导】图形周期变换规律题的一般解题思路为: 1.先观察点坐标(图形)变化的规律找出循环一周的变换次数,记为n; 2.用MnWq (0qn),则第M次变换后的点坐标(图形)就是第一个循环变换中第q次变化对应的点坐标(图形),或存在一定的倍分关系; 3.根据题意找出第一个循环变换中,第q次变换后对应的点坐标(图形),即可推断出第M次变换后对应的点坐标(图形),针对演练,1. 有一串彩色的珠子,按白黄蓝的顺序重复排列,其中有一部分放在盒子里,如图所示,则这串珠子被放在盒子里的颗数可能是 ( ) A. 2010 B. 2011 C. 2012 D. 2013,第1题图,B,2. (2017连云港)如图所示,一动点从半径为2的O上的A0点出发,沿着射线A0O方向运动到O上的点A1处;再向左沿着与射线A1O夹角为60的方向运动到O上的点A2处;接着又从A2点出发,沿着射线A2O方向运动到O上的点A3处;再向左沿着与射线A3O夹角为60的方向运动到O上的点A4处;按此规律运动到点A2017处,则点A2017与点A0间的距离是 ( ) A. 4 B. 2 C. 2 D. 0,A,解:如图,O的半径=2, 由题意得, A0A1=4, A0A2=23, A0A3=2, A0A4=23, A0A5=2, A0A6=0, A0A7=4, 20176=3361, 按此规律运动到点A2017处,A2017与A1重合, A0A2017=2R=4 故选A 点评 本题考查了图形的变化类,等边三角形的性质,解直角三角形,正确的作出图形是解题的关键,3. (2018广州)在平面直角坐标系中,一个智能机器人接到如下指令:从原点O出发,按向右,向上,向右,向下的方向依次不断移动,每次移动1 m,其行走路线如图所示,第1次移动到A1,第2次移动到A2,第n次移动到An,则OA2A2018的面积是 ( ) A. 504 m2 B. m2 C. m2 D. 1009 m2,A,解:依题可得: A2(1,1),A4(2,0),A8(4,0),A12(6,0) A4n(2n,0), A2016=A4504(1008,0), A2018(1009,1), A2A2018=1009-1=1008, S = 11008=504(m2). 故答案为:A. 【分析】根据图中规律可得A4n(2n,0),即A2016=A4504(1008,0),从而得A2018(1009,1),再根据坐标性质可得A2A2018=1008,由三角形面积公式即可得出答案.,4. 如图,在矩形ABCD中,已知AB8,BC6.矩形在直线l上绕其右下角的顶点B向右旋转90至图位置,再绕右下角的顶点继续旋转90至图位置,依次类推这样连续旋转99次后顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是 ( ) A. 288 B. 294 C. 300 D. 396,C,在矩形ABCD中,AB=8,BC=6, AC=BD=10, 转动一次A的路线长是: =4, 转动第二次的路线长是: =5, 转动第三次的路线长是: =3, 转动第四次的路线长是: 0,,以此类推,每四次循环, 故顶点A转动四次经过的路线长为:4+5+3=12, 994=24余3, 顶点A转动四次经过的路线长为:1225=300 故选C,5. 根据以下图形变化的规律,第2019个图形中黑色正方形的数量是 ,3029,解:根据题意得:第2019个图形中正方形的个数为22019=4038(个), 空白正方形的规律为:0,1,1,2,2,3,3, (2019-1)2=20182=1009, 空白正方形个数为1009, 则第2019个图形中黑色正方形的数量是4038-1009=3029, 故答案为:3024,6. 如图,动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动,第1次从原点运动到点(1,1),第2次接着运动到点(2,0),第3次接着运动到点(3,2),,按这样的规律运动,经过第2019次运动后,动点P的坐标为 ,第1次运动到点(1,1), 第2次运动到点(2,0), 第3次接着运动到点(3,2), 第4次运动到点(4,0), 第5次运动到点(5,1), 运动后点的横坐标等于运动的次数, 第2019次运动后点P的横坐标为2019, 纵坐标以1、0、2、0每4次为一个循环组循环, 20194=5043, 第2019次运动后动点P的纵坐标是第505个循环组的第3次运动,与第3次运动的点的纵坐标相同,为2, 点P(2019,2) 故选C,类型四 图形成倍递变规律,例 (2018齐齐哈尔改编)在平面直角坐标系中,点A( ,1)在射线OM上,点B( ,3)在射线ON上,以AB为直角边作RtABA1,以BA1为直角边作第二个RtBA1B1,以A1B1为直角边作第三个RtA1B1A2, ,依此规律,得到RtB2017A2018B2018,则点B2018的 纵坐标为( ) A. 32019 B. 32017 C. ( )2019 D. ( )2017,例题图,A,典例精讲,【解析】如解图,延长BA交x轴于点C,A( ,1), tanAOC ,AOC30, OA2,同理,由B( ,3)得BOC60, OBC30,AOBBOCAOC 30,AOBOBC,AOB是等腰 三角形在RtOBC中,OB ,,例题解图,OA1BAOB30,OBA1B2 ,B1(3 ,9),yB1932.同理可得 B2(9 ,27),yB22733, yBn3n1 , 点B2018的纵坐标为32019.,例题解图,【方法指导】图形成倍递变规律题常考的有两种类型: 1点坐标成倍递变: (1)根据图形的变换规律分别求出前几个点的坐标,归纳出后一个点的坐标与前一个点的坐标之间存在的倍分关系; (2)根据(1)中得到的倍分关系,得到第M个点的坐标 2线段(面积)成倍递变: 已知一个几何图形的边长(周长或面积),通过一定变换确定第M次变换后的图形的边长(周长或面积),,解题步骤是: 第一步:根据题意可得出第一次变换前图形的边长(周长或面积); 第二步:通过计算得到前几个变换后图形的边长(周长或面积),归纳出每次变换后的图形的边长(周长或面积)与序数n之间的关系式,并验证; 第三步:根据第二步中的关系式,得到第M次变换后的图形的边长
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