第三节 非齐次线性方程组,非齐次线性方程组的概念,非齐次线性方程组解的结构,非齐次线性方程组有解的条件,称为非齐次线性方程组,一、非齐次线性方程组,对方程组的系数矩阵A按列分块，记作A=,问题是：非齐次线性方程组何时是有解的？如果有 解时怎样求出其所有解？,根据齐次线性方程组的不同表示方法，以及矩阵 与其行向量组、列向量组的关系，不难得知如下 等价命题：,二、非齐次线性方程组有解的条件,（1）线性方程组 有解,通常用 (4) 来判断 (1),非齐次线性方程组有解得等价条件,是对应的齐次线性方程组,证明,性质2,三、非齐次线性方程组解的结构,非齐次线性方程组解的性质：,的任一解为,证明,从而 X=,若 R（A）=R,且已知,对非齐次线性方程组,定理,解 对方程组的增广矩阵作初等行变换，得,例,得到非齐次线性方程组的同解方程组为,从而得到非齐次线性方程组的一个解,对应齐次线性方程组的同解方程组为,从而得到齐次线性方程组的一个基础解系,齐次线性方程组通解为,非齐次线性方程组的通解为,例 问方程组,为何值时方程组有唯一解；无解；无穷多解？,解：,方程组有无穷多解,方程组无解。,所以,求该方程组的通解。,对应的齐次线性方程组,已知,故有,基础解系中应含n-r=4-3=1个向量,非齐次线性方程组的通解为,例,求一个齐次线性方程组，使它的基础解系为：,由题意应有：,解：设有方程,对系数矩阵施行初等行变换，有：,即所求方程组为：,线性方程组 解的存在性,齐次线性方 程组,非齐次线性方 程组,小 结,线性方程组 解 的 结 构,齐次线性方 程组,非齐次线性方 程组,解的任意非零线性组合仍为其解,任一解可表示为一特解与导出组的解之和,