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1 新课程标准数学选修 22 第一章课后习题解答 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 31 变化率与导数变化率与导数 练习练习(P6) 在第 3 h 和 5 h 时,原油温度的瞬时变化率分别为1和 3. 它说明在第 3 h 附近,原 油温度大约以 1 h 的速度下降;在第 5 h 时,原油温度大约以 3 h 的速率 上升. 练习练习(P8) 函数( )h t在 3 tt=附近单调递增,在 4 tt=附近单调递增. 并且,函数( )h t在 4 t附近比 在 3 t附近增加得慢. 说明:体会“以直代曲”1 的思想. 练习练习(P9) 函数 3 3 ( ) 4 V r V =(05)V的图象为 根据图象,估算出(0.6)0.3r,(1.2)0.2r. 说明:如果没有信息技术,教师可以将此图直接提供给学生,然后让学生根据导数 的几何意义估算两点处的导数. 习题习题 1.1 A 组组(P10) 1、在 0 t处,虽然 1020 ( )( )W tW t=,然而 10102020 ( )()( )()W tW ttW tW tt tt . 所以,企业甲比企业乙治理的效率高. 说明:平均变化率的应用,体会平均变化率的内涵. 2、 (1)(1) 4.93.3 hhth t tt + = ,所以,(1)3.3 h =. 这说明运动员在1t =s 附近以 3.3 ms 的速度下降. 3、物体在第 5 s 的瞬时速度就是函数( )s t在5t =时的导数. (5)(5) 10 ssts t tt + = + ,所以,(5)10 s =. 2 因此,物体在第 5 s 时的瞬时速度为 10 ms,它在第 5 s 的动能 2 1 3 10150 2 k E = = J. 4、设车轮转动的角度为,时间为t,则 2( 0)ktt=. 由题意可知,当0.8t =时,2=. 所以 25 8 k =,于是 2 25 8 t =. 车轮转动开始后第 3.2 s 时的瞬时角速度就是函数( ) t在3.2t =时的导数. (3.2)(3.2)25 20 8 t t tt + = + ,所以(3.2)20=. 因此,车轮在开始转动后第 3.2 s 时的瞬时角速度为20 1 s. 说明:第 2,3,4 题是对了解导数定义及熟悉其符号表示的巩固. 5、由图可知,函数( )f x在5x = 处切线的斜率大于零,所以函数在5x = 附近单 调递增. 同理可得,函数( )f x在4x = ,2,0,2 附近分别单调递增,几乎没有 变化,单调递减,单调递减. 说明: “以直代曲”思想的应用. 6、 第一个函数的图象是一条直线, 其斜率是一个小于零的常数, 因此, 其导数( )fx 的图象如图 (1) 所示; 第二个函数的导数( )fx恒大于零, 并且随着x的增加,( )fx 的值也在增加; 对于第三个函数, 当x小于零时,( )fx小于零, 当x大于零时,( )fx 大于零,并且随着x的增加,( )fx的值也在增加. 以下给出了满足上述条件的导函 数图象中的一种. 说明:本题意在让学生将导数与曲线的切线斜率相联系. 习题习题 3.1 B 组组(P11) 1、高度关于时间的导数刻画的是运动变化的快慢,即速度;速度关于时间的导数刻 画的是速度变化的快慢,根据物理知识,这个量就是加速度. 3 2、 说明: 由给出的( )v t的信息获得( )s t的相关信息, 并据此画出( )s t的图象的大致形状. 这个过程基于对导数内涵的了解,以及数与形之间的相互转换. 3、由(1)的题意可知,函数( )f x的图象在点(1, 5)处的切线斜率为1,所以此点 附近曲线呈下降趋势. 首先画出切线的图象, 然后再画出此点附近函数的图象. 同理 可得(2) (3)某点处函数图象的大致形状. 下面是一种参考答案. 说明:这是一个综合性问题,包含了对导数内涵、导数几何意义的了解,以及对以 直代曲思想的领悟. 本题的答案不唯一. 12 导数的计算导数的计算 练习练习(P18) 1、( )27fxx=,所以,(2)3 f =,(6)5 f =. 2、 (1) 1 ln2 y x = ; (2)2 x ye = ; (3) 4 106yxx = ; (4)3sin4cosyxx = ; (5) 1 sin 33 x y = ; (6) 1 21 y x = . 习题习题 1.2 A 组组(P18) 1、 ()( ) 2 SS rrS r rr rr + =+ ,所以, 0 ( )lim(2)2 r S rrrr =+=. 2、( )9.86.5h tt=+. 3、 3 2 13 ( ) 34 r V V =. 4 4、 (1) 2 1 3 ln2 yx x = +; (2) 1nxnx ynxex e = +; (3) 23 2 3sincoscos sin xxxxx y x + = ; (4) 98 99(1)yx = +; (5)2 x ye = ; (6)2sin(25)4 cos(25)yxxx = +. 5、( )82 2fxx= +. 由 0 ()4fx=有 0 482 2x= +,解得 0 3 2x =. 6、 (1)ln1yx = +; (2)1yx=. 7、1 x y = +. 8、 (1)氨气的散发速度( )500 ln0.834 0.834tA t=. (2)(7)25.5 A =,它表示氨气在第 7 天左右时,以 25.5 克天的速率减少. 习题习题 1.2 B 组组(P19) 1、 (1) (2)当h越来越小时, sin()sinxhx y h + =就越来越逼近函数cosyx=. (3)sinyx=的导数为cosyx=. 2、当0y =时,0 x =. 所以函数图象与x轴交于点(0,0)P. x ye = ,所以 0 1 x y = = . 所以,曲线在点P处的切线的方程为yx=. 2、( )4sind tt=. 所以,上午 6:00 时潮水的速度为0.42mh;上午 9:00 时潮水 的速度为0.63mh;中午 12:00 时潮水的速度为0.83mh;下午 6:00 时潮水的 速度为1.24mh. 13 导数在研究函数中的应用导数在研究函数中的应用 练习练习(P26) 1、 (1)因为 2 ( )24f xxx=+,所以( )22fxx=. 当( )0f x,即1x 时,函数 2 ( )24f xxx=+单调递增; 5 当( )0f x,即1x 时,函数 2 ( )24f xxx=+单调递减. (2)因为( ) x f xex=,所以( )1 x fxe=. 当( )0f x,即0 x 时,函数( ) x f xex=单调递增; 当( )0f x,即0 x 时,函数( ) x f xex=单调递减. (3)因为 3 ( )3f xxx=,所以 2 ( )33fxx=. 当( )0f x,即11x 时,函数 3 ( )3f xxx=单调递增; 当( )0f x,即1x 或1x 时,函数 3 ( )3f xxx=单调递减. (4)因为 32 ( )f xxxx=,所以 2 ( )321fxxx=. 当( )0f x,即 1 3 x 或1x 时,函数 32 ( )f xxxx=单调递增; 当( )0f x,即 1 1 3 x时,函数 32 ( )f xxxx=单调递减. 2、 3、因为 2 ( )(0)f xaxbxc a=+,所以( )2fxaxb=+. (1)当0a 时, ( )0f x,即 2 b x a 时,函数 2 ( )(0)f xaxbxc a=+单调递增; ( )0f x,即 2 b x a 时,函数 2 ( )(0)f xaxbxc a=+单调递减. (2)当0a 时, ( )0f x,即 2 b x a 时,函数 2 ( )(0)f xaxbxc a=+单调递增; ( )0f x,即 2 b x a 时,函数 2 ( )(0)f xaxbxc a=+单调递减. 4、证明:因为 32 ( )267f xxx=+,所以 2 ( )612fxxx=. 当(0,2)x时, 2 ( )6120fxxx=, 因此函数 32 ( )267f xxx=+在(0,2)内是减函数. 练习练习(P29) 1、 24 ,xx是函数( )yf x=的极值点, 注:图象形状不唯一. 6 其中 2 xx=是函数( )yf x=的极大值点, 4 xx=是函数( )yf x=的极小值点. 2、 (1)因为 2 ( )62f xxx=,所以( )121fxx=. 令( )1210fxx= =,得 1 12 x =. 当 1 12 x 时,( )0f x,( )f x单调递增;当 1 12 x 时,( )0f x,( )f x单 调递减. 所 以 , 当 1 12 x =时 ,( )f x有 极 小 值 , 并 且 极 小 值 为 2 11149 ()6 ()2 12121224 f= = . (2)因为 3 ( )27f xxx=,所以 2 ( )327fxx=. 令 2 ( )3270fxx=,得3x = . 下面分两种情况讨论: 当( )0f x,即3x 或3x 时;当( )0f x,即33x 时. 当x变化时,( )fx,( )f x变化情况如下表: x (, 3) 3 ( 3,3) 3 (3,)+ ( )fx 0 0 ( )f x 单调递增 54 单调递减 54 单调递增 因此,当3x = 时,( )f x有极大值,并且极大值为 54; 当3x =时,( )f x有极小值,并且极小值为54. (3)因为 3 ( )6 12f xxx=+,所以 2 ( )123fxx=. 令 2 ( )1230fxx=,得2x = . 下面分两种情况讨论: 当( )0f x,即22x 时;当( )0f x,即2x 或2x 时. 当x变化时,( )fx,( )f x变化情况如下表: x (, 2) 2 ( 2,2) 2 (2,)+ 7 ( )fx 0 0 ( )f x 单调递减 10 单调递增 22 单调递减 因此,当2x = 时,( )f x有极小值,并且极小值为10; 当2x =时,( )f x有极大值,并且极大值为 22 (4)因为 3 ( )3f xxx=,所以 2 ( )33fxx=. 令 2 ( )3 30fxx=,得1x = . 下面分两种情况讨论: 当( )0f x,即11x
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