学 海 无 涯 【课题课题】 61 数列的概念数列的概念 【教学目标】【教学目标】 知识目标：知识目标： （1）了解数列的有关概念； （2）掌握数列的通项（一般项）和通项公式 能力目标：能力目标： 通过实例引出数列的定义,培养学生的观察能力和归纳能力 【教学重点】【教学重点】 利用数列的通项公式写出数列中的任意一项并且能判断一个数是否为数列中的一项 【教学难点】【教学难点】 根据数列的前若干项写出它的一个通项公式 【教学设计】【教学设计】 通过几个实例讲解数列及其有关概念：项、首项、项数、有穷数列和无穷数列讲解 数列的通项（一般项）和通项公式 从几个具体实例入手,引出数列的定义.数列是按照一定次序排成的一列数学生往往 不易理解什么是“一定次序” 实际上， 不论能否表述出来， 只要写出来， 就等于给出了“次 序”，比如我们随便写出的两列数：2，1，15，3，243，23 与 1，15，23，2，243，3，就 都是按照“一定次序”排成的一列数， 因此它们就都是数列， 但它们的排列“次序”不一样， 因此是不同的数列 例 1 和例 3 是基本题目,前者是利用通项公式写出数列中的项；后者是利用通项公式判 断一个数是否为数列中的项,是通项公式的逆向应用 例 2 是巩固性题目,指导学生分析完成.要列出项数与该项的对应关系，不能泛泛而谈, 采用对应表的方法比较直观,降低了难度,学生容易接受. 【教学备品】【教学备品】 教学课件 【课时安排】【课时安排】 2 课时(90 分钟) 【教学过程】【教学过程】 教教 学学 过过 程程 教师教师 行为行为 学生学生 行为行为 教学教学 意图意图 时时 间间 *揭示课题揭示课题 61 数列的概念 *创设情境创设情境 兴趣导入兴趣导入 介绍 了解 0 学 海 无 涯 教教 学学 过过 程程 教师教师 行为行为 学生学生 行为行为 教学教学 意图意图 时时 间间 将正整数从小到大排成一列数为 1，2，3，4，5， (1 ) 将 2 的正整数指数幂从小到大排成一列数为 2345 2,2 ,2 ,2 ,2 , (2 ) 当 n 从小到大依次取正整数时，cos n的值排成一列数为 -1，1，-1，1， (3 ) 取无理数的近似值（四舍五入法） ，依照有效数字的个 数，排成一列数为 3，3.1，3.14，3.141，3.1416， (4) 播放 课件 质疑 引导 分析 观看 课件 思考 自我 分析 从 实 例 出 发 使 学 生 自 然 的 走 向 知 识点 5 *动脑思考动脑思考 探索新知探索新知 【新知识】 象上面的实例那样，按照一定的次序排成的一列数叫做数数 列列数列中的每一个数叫做数列的项项从开始的项起，按照自 左至右的排序， 各项按照其位置依次叫做这个数列的第 1 项 （或 首项首项） ，第 2 项，第 3 项，第 n 项，其中反映各项在 数列中位置的数字 1，2，3，n，分别叫做对应的项的项数项数 只有有限项的数列叫做有穷数列有穷数列，有无限多项的数列叫做 无穷数列无穷数列 【小提示】 数列的“项”与这一项的“项数”是两个不同的概念如 数列（2）中，第 3 项为 3 2，这一项的项数为 3. 【想一想】 上面的 4 个数列中，哪些是有穷数列,哪些是无穷数列? 【新知识】 由于从数列的第一项开始，各项的项数依次与正整数相对 总结 归纳 仔细 分析 思考 理解 带领 学生 分析 引导 学 海 无 涯 教教 学学 过过 程程 教师教师 行为行为 学生学生 行为行为 教学教学 意图意图 时时 间间 应，所以无穷数列的一般形式可以写作 123 , n a a aa ，()nN 简记作 n a其中，下角码中的数为项数， 1 a表示第 1 项， 2 a 表示第 2 项，当n由小至大依次取正整数值时， n a依次可 以表示数列中的各项，因此，通常把第 n 项 n a叫做数列 n a 的通项通项或一般项一般项 讲解 关键 词语 记忆 式启 发学 生得 出结 果 10 *运用知识运用知识 强化练习强化练习 1.说出生活中的一个数列实例 2.数列“1，2，3，4，5”与数列“5 ，4， 3，2，1 ” 是否为同一个数列？ 3.设数列 n a为“-5,-3,-1,1,3, 5，” ，指出其中 3 a、 6 a各是什么数？ 提问 巡视 指导 思考 口答 及时 了解 学生 知识 掌握 得情 况 15 *创设情境创设情境 兴趣导入兴趣导入 【观察】 6.1.1 中的数列（1）中，各项是从小到大依次排列出的 正整数 1 1a =， 2 2a =， 3 3a =， 可以看到，每一项与这项的项数恰好相同这个规律可以用 * () n an n=N 表示利用这个规律，可以方便地写出数列中的任意一项，如 11 11a=， 20 20a= 6.1.1 中的数列（2）中，各项是从小到大顺次排列出的 2 的正整数指数幂 1 2a =， 2 2 2a =， 3 3 2a =， 质疑 引导 分析 思考 参与 分析 引 导 启 发 学 生 思考 学 海 无 涯 教教 学学 过过 程程 教师教师 行为行为 学生学生 行为行为 教学教学 意图意图 时时 间间 可以看到，各项的底都是 2，每一项的指数恰好是这项的项 数这个规律可以用 * 2 () n n an=N 表示，利用这个规律，可以方便地写出数列中的任意一项，如 11 11 2a=， 20 20 2a= 25 *动脑思考动脑思考 探索新知探索新知 【新知识】 一个数列的第 n 项 n a，如果能够用关于项数n 1的一个式 子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式通项公式. 数列（1）的通项公式为 n an=，可以将数列（1）记为数 列n；数列（2）的通项公式为2n n a =，可以将数列（2）记 为数列2 n . 总结 归纳 仔细 分析 讲解 关键 词语 思考 归纳 理解 记忆 带领 学生 总结 35 *巩固知识巩固知识 典型例题典型例题 例例 1 1 设数列 n a的通项公式为 1 2 n n a =， 写出数列的前 5 项 分析分析 知道数列的通项公式，求数列中的某一项时，只需 将通项公式中的 n 换成该项的项数，并计算出结果 解解 1 1 11 22 a =； 2 2 11 42 a =； 3 3 11 82 a =； 4 4 11 162 a =； 5 5 11 322 a = 例例2 2 根据下列各无穷数列的前4项,写出数列的一个通项 公式. (1)5,10,15,20 ， ； (2) 1 1 1 1 , 2 4 6 8 ； 说明 强调 引领 讲解 说明 引领 观察 思考 主动 求解 观察 通 过 例 题 进 一 步 领 会 学 海 无 涯 教教 学学 过过 程程 教师教师 行为行为 学生学生 行为行为 教学教学 意图意图 时时 间间 （3）1，1，1，1， 分析分析 分别观察分析各项与其项数之间的关系，探求用式 子表示这种关系 解解 （1）数列的前 4 项与其项数的关系如下表： 项数 n 1 2 3 4 项 n a 5 10 15 20 关系 55 1= 105 2= 155 3= 205 4= 由此得到，该数列的一个通项公式为 5 n an= （2）数列前 4 项与其项数的关系如下表： 由此得到，该数列的一个通项公式为 1 2 n a n = （3）数列前 4 项与其项数的关系如下表： 由此得到，该数列的一个通项公式为 ( 1)n n a = 【注意】【注意】 由数列的有限项探求通项公式时，答案不一定是唯一 序号 1 2 3 4 项 n a 1 2 1 4 1 6 1 8 关系 11 22 1 = 11 422 = 11 623 = 11 824 = 序号 1 2 3 4 项 n a 1 1 1 1 关系 1 ( 1) 2 ( 1) 3 ( 1) 4 ( 1) 分析 强调 含义 思考 求解 注意 观察 学生 是否 理解 知识 点 学 海 无 涯 教教 学学 过过 程程 教师教师 行为行为 学生学生 行为行为 教学教学 意图意图 时时 间间 的例如，( 1)n n a = 与cos= n an都是例 2（3）中数列“1， 1，1，1， ”的通项公式 【知识巩固】【知识巩固】 例例3 3 判断16和45是否为数列3n+1中的项,如果是,请指 出是第几项. 分析分析 如果数 a 是数列中的第 k 项，那么 k 必须是正整数， 并且31=+ak. 解解 数列的通项公式为31 n an=+. 将 16 代入数列的通项公式有 1631n=+， 解得 * 5n= N 所以，16 是数列31n +中的第 5 项 将 45 代入数列的通项公式有 4531n=+， 解得 * 44 3 n =N， 所以，45 不是数列31n +中的项 说明 领会 思考 求解 反复 强调 50 *运用知识运用知识 强化练习强化练习 1. 根据下列各数列的通项公式，写出数列的前 4 项： （1）23 = n n a； （2）na n n =) 1( 2. 根据下列各无穷数列的前 4 项,写出数列的一个通项公