,第二章 极限与连续,l 数列的极限,一、引例,截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭”,二、数列的有关概念,例如,例如,有界,无界,单调增加,单调减少,单调数列,注意：,例如，,三、数列极限的定义,问题: 当 无限增大时, 是否无限接近于某一确 定的数值？如果是，如何确定？,问题: “无限接近” 意味着什么？如何用数学语言刻 划它.,通过上面演示实验的观察:,如果数列没有极限，就说数列是发散的.,注意:,2. N 与任意给定的正数 有关.,几何解释:,其中, N 定义：,注意：数列极限的定义未给出求极限的方法 .,例1,证,所以，,证毕.,例2,证,所以，,说明: 常数列的极限等于同一常数 .,小结:,用定义证明数列极限存在时，关键是任意给定 寻找 N , 但不必要求最小的 N .,证毕.,例3,证,证毕.,四、收敛数列的性质,性质1 (极限的惟一性)收敛数列的极限必惟一.,证,由定义，,故收敛数列极限惟一.,证毕.,性质2 (有界性)收敛数列必为有界数列.,证,由定义，,注意：有界性是数列收敛的必要条件.,推论 无界数列必定发散.,证毕.,性质3 (保号性) 若 且 a 0(或 a N 时, 恒有 (或 ).,证,设 a 0 , 取 , 正整数 N , 当 n N 时, 有,证毕.,根据这个性质, 可得如下结论:,若 (或 ), 且 则 a 0(或 a 0).,性质4(收敛数列与其子数列间的关系)收敛数列的任 一子数列也收敛, 且极限相同.,本节结束,(证明略),