,第三章 三角函数、解三角形,第八节 正弦定理和余弦定理应用举例,一、有关概念 1仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线 的角叫仰角，在水平线 的角叫俯角(如图),上方,下方,2方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，叫方位角如B点的方位角为(如图),仰角、俯角、方位角有什么区别？ 提示：三者的参照不同，仰角与俯角是相对于水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的,3方向角 相对于某一正方向的水平角(如图) (1)北偏东即由指北方向顺时针 旋转到达目标方向 (2)北偏西即由指北方向逆时针旋转到达目标方向 (3)南偏西等其他方向角类似,4坡度与坡比 坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图，角为坡角) 坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图，i为坡比),二、解三角形在实际中的应用及解题步骤 解三角形在实际中的应用非常广泛，如测量、航海、几何、物理等方面都要用到解三角形的知识解题的一般步骤是： 1分析题意，准确理解题意分清已知与所求，尤其要理解应用题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、视角、方位角等,2根据题意画出示意图 3将需求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解演算过程中，要算法简练，计算正确 4检验解出的答案是否具有实际意义，对解进行取舍，并作出答案,1从A处望B处的仰角为，从B处望A处的俯角为，则，之间的关系是( ) A B C90 D180 答案：B,2.如图所示，为了测量某障碍物两侧A、B间的距离，给定下列四组数据，不能确定A、B间距离的是( ) A，a，b B，a Ca，b， D，b 解析：选项B中由正弦定理可求b，再由余弦定理可确定AB.选项C中可由余弦定理确定AB.选项D同B类似 答案：A,3如图所示，D，C，B三点在地面的同一直线上，DCa，从C，D两点测得A点的仰角分别为60，30，则A点离地面的高度AB等于( ),答案：B,4在相距2千米的A，B两点处测量目标C，若CAB75，CBA60，则A、C两点之间的距离是_千米,5如图所示，一艘海轮从A处出发，测得A灯塔在海轮的北偏东15方向，与海轮相距20海里的B处，随后海轮按北偏西60的方向航行了30分钟后到达C处，又测得灯塔在海轮的北偏东75的方向，则海轮的速度为_海里/分,【考向探寻】 利用正(余)弦定理解决实际中的距离问题,测量距离问题,求解实际中距离问题的注意事项 (1)利用示意图把已知量和待求量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解三角形的模型 (2)利用正、余弦定理解出所需要的边和角，求得该数学模型的解 (3)应用题要注意作答,【活学活用】 1.某炮兵阵地位于地面A处，两观察所分别位于地面点C和D处，已知CD6 km，ACD45，ADC75，目标出现于地面点B处时，测得BCD30，BDC15，如图，求炮兵阵地到目标的距离,【考向探寻】 利用正(余)弦定理解决实际中的高度问题,测量高度问题,【典例剖析】 (2013天水模拟)如图所示，测量河对岸的塔高AB时，可选取与塔底B在同一水平面内的两个观测点C与D，现测得BCD75，BDC60，CDs，并在点C处测得塔顶A的仰角为30，求塔高AB.,解答此题可按以下步骤进行： 在BCD中，由正弦定理求得BC； 在RtABC中，根据三角函数定义求得AB.,求解高度问题应注意的问题 (1)测量高度时，要准确理解仰、俯角的概念 (2)分清已知和待求，分析(画出)示意图，明确在哪个三角形内应用正、余弦定理 (3)注意竖直线垂直于地面构成的直角三角形,解决该类问题时，一定要准确理解仰角和俯角的概念,【活学活用】 2.如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，现测得BCD，BDC，CDs，并在点C测得塔顶A的仰角为，求塔高AB.,【考向探寻】 利用正(余)弦定理解决实际中的角度问题,测量角度问题,如图所示，注意到最快追上走私船且两船所用时间相等，若在D处相遇，则可先在ABC中求出BC，再在BCD中求BCD.,解决测量问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解，本例中求出ABC45，进而得出BC与正北方向垂直非常关键，这对确定CBD的大小，进而用正弦定理确定BCD的大小非常关键,【活学活用】 3如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A、B、C三点进行测量，已知AB50 m，BC120 m，于A处测得水深AD80 m，于B处测得水深BE200 m，于C处测得水深CF110 m，求DEF的余弦值,用正(余)弦定理解决实际问题的答题规范,(1)分清已知条件和未知条件(待求)(2)将问题集中到一个三角形中(3)利用正、余弦定理求解,在ACD中，DAC30，ADC60DAC30，所以CDAC0.1.又BCD180606060， 故CB是CAD底边AD的中垂线，所以BDBA.4分,解应用题的一般步骤 第一步：分析理解题意，分清已知与未知，画出示意图； 第二步：建模根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；,第三步：求解利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解； 第四步：检验检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解,活 页 作 业,谢谢观看！,