2020届山西省实验中学高三上学期第二次月考数学（理）试题一、单选题1已知，则ABCD【答案】D【解析】先求出，再求的值得解.【详解】由题得，所以，所以.故选：D【点睛】本题主要考查同角的三角函数关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.2函数在上的最大值和最小值分别是ABCD【答案】C【解析】求导分析出函数的单调性，进而求出函数的极值和两端点的函数值，可得函数在区间，上的最大值和最小值【详解】函数，当，或，时，函数为增函数；当时，函数为减函数；由，（2），故函数在区间，上的最大值和最小值分别为50，故选：【点睛】本题主要考查的知识点是利用导数求闭区间上的函数的最值，是基础题.3在中，为边上的中线，点满足，则ABCD【答案】A【解析】利用平面向量的加法和减法法则求解.【详解】由题得=.故选：A【点睛】本题主要考查平面向量的加法和减法法则，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.4曲线在处的切线与两坐标轴成的三角形的面积为4，则a的值为( )A.B.2C.4D.8【答案】B【解析】先求出曲线在处的切线方程，然后得到切线与两坐标轴的交点坐标，最后可求得围成的三角形的面积【详解】由，得，又，曲线在处的切线方程为，令得；令得切线与坐标轴围成的三角形面积为，解得故选B【点睛】本题考查导数的几何意义及直线与坐标轴的交点坐标，考查计算能力，属于基础题5记，那么（ ）ABCD-【答案】A【解析】试题分析：，所以，故选A.【考点】弦切互化.6由曲线与直线所围成的封闭图形的面积为（ ）ABCD【答案】A【解析】作出图形，得到被积函数与被积区间，然后利用定积分计算出封闭图形的面积.【详解】略在直角坐标系内，画出曲线和直线围成的封闭图形，如图所示，由解得两个交点坐标为和，利用微积分的几何含义可得封闭图形的面积为：，故选：A.【点睛】本题考查利用定积分计算出函数图象所围成的封闭区域的面积，解题的关键就是要弄清楚被积函数与被积区间，考查运算求解能力，属于中等题.7若函数的导函数的图像关于原点对称，则函数的解析式可能是（ ）A.B.C.D.【答案】A【解析】求出导函数，导函数为奇函数的符合题意【详解】A中为奇函数，B中 非奇非偶函数，C中为偶函数，D中+1非奇非偶函数故选A【点睛】本题考查导数的运算，考查函数的奇偶性解题关键是掌握奇函数的图象关于原点对称这个性质8若，则ABCD【答案】C【解析】先求出的值，再求的值得解.【详解】由题得，所以，所以.故选：C【点睛】本题主要考查二倍角的余弦公式和诱导公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.9已知函数最小正周期为，则函数的图象（ ）A.关于直线对称B.关于直线对称C.关于点对称D.关于点对称【答案】D【解析】分析：先化简函数f(x)=,再根据周期求出w，再讨论每一个选项的真假.详解：由题得f(x)=，因为对于选项A,把代入函数得，所以选项A是错误的；对于选项B, 把代入函数得，所以选项B是错误的；对于选项C,令无论k取何整数，x都取不到,所以选项C是错误的.对于选项D, 令当k=1时，所以函数的图像关于点对称.故答案为：D.点睛：（1）本题主要考查三角恒等变换和三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)对于三角函数图像和性质的判断，要灵活，不要死记硬背.10已知曲线在处的切线方程是，则与分别为A.5，B.，5C.，0D.0，【答案】D【解析】利用导数的几何意义得到f（5）等于直线的斜率1，由切点横坐标为5，得到纵坐标即f（5）【详解】由题意得f（5）=5+5=0，f（5）=1故选：D【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于基础题11函数在上单调递增，则的范围是ABCD【答案】B【解析】先化简函数的解析式，再利用正弦函数的图像和性质分析得到的不等式组，解之即得解.【详解】由题得，所以函数的最小正周期为,因为函数在上单调递增，所以，又w0，所以.故选：B【点睛】本题主要考查三角恒等变换和正弦函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.12若是函数图象上的动点，点，则直线斜率的取值范围为（ ）ABCD【答案】A【解析】【详解】由题意可得： ，结合函数的定义域可知，函数在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，且 ，绘制函数图象如图所示，当直线与函数图象相切时直线的斜率取得最小值，设切点坐标为 ，该点的斜率为 ，切线方程为：，切线过点 ，则： ，解得： ，切线的斜率 ，综上可得：则直线斜率的取值范围为 .二、填空题13函数的振幅是_。【答案】2【解析】先化简函数，再求函数的振幅得解.【详解】由题得=所以函数的振幅是2.故答案为：2【点睛】本题主要考查和角差角的正余弦，考查三角函数的振幅，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.14已知非零向量满足，设与的夹角为，则_。【答案】【解析】由得，化简即得解.【详解】由得，所以，所以所以.故答案为：【点睛】本题主要考查向量垂直的数量积表示，考查数量积的运算法则，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.15若存在正数使成立，则的取值范围是_【答案】【解析】若存在正数使成立，则.令.易知函数单调递增，所以所以有.16已知函数，非零实数是函数的两个零点，且，则_。【答案】0【解析】先由已知得，再化简代入得解.【详解】由题得.所以由题得=0故答案为：0【点睛】本题主要考查零点的定义和同角的三角函数的关系，考查三角恒等变换，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.三、解答题17已知函数，且.（1）求的值；（2）若，求.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）将代入函数的解析式求出的值；（2）先利用已知条件，结合两角和与差的正弦公式求出的某个三角函数值，然后将代入函数的解析式，并结合诱导公式对进行化简，最后利用同角三角函数的基本关系求出的值.【详解】（1），所以，；（2），.【点睛】本题考查诱导公式、同角三角函数的基本关系以及两角和的三角函数，综合考查三角函数的求值问题，属于中等题.18已知向量，对任意，都有成立。（）求的最小值；（）求正整数，使。【答案】（）（） 【解析】（）设，由，可得、都是公差为1的等差数列，求出，即可求的最小值；（）等价于，可得，即可求出正整数，【详解】（）设，由得、都是公差为1的等差数列，的最小值为.（）由（）可设，由已知得：，或或或因为，所以或.【点睛】本题考查数列与向量的综合，考查等差数列的通项，考查向量的数量积公式，属于中档题19已知函数.（）求曲线在点处的切线的纵截距；（）求函数在区间上的值域。【答案】（） （）【解析】（）先对函数求导，再求切线的斜率，即得切线的纵截距；（）先通过二次求导得到函数在区间的单调性，再求其值域得解.【详解】（）由题得，所以切线的斜率，所以切线的方程为，令x=0，得所以切线纵截距.（）令，所以，所以函数g(x)在上单调递减，所以，所以，所以函数f(x)在在上单调递减，所以，所以函数在区间上的值域为.【点睛】本题主要考查对函数求导和导数的几何意义，考查利用导数求函数的最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20已知函数在上单调递减，且满足.（1）求的值；（2）将的图象向左平移个单位后得到的图象，求的解析式.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：（1）利用辅助角公式把原函数化为，再利用对称轴为得到或，最后根据在上为减函数舎去.（2）利用左加右减求解的解析式.解析：（1）.，则图象关于对称，在时，而，或，在时，在上单减，符合题意.可取.在时，在上单增，不合题意，舍去.因此，.（2）由（1）可知，将向左平移个单位得到，.21设函数，是的导函数.（）当时，解方程；（）求函数的最小值.【答案】（）（）【解析】()先化简得到，再写出方程的解；（）先分析出函数的最小正周期，再求导得，再比较极值点和端点函数值的大小得解.【详解】（）由题得，所以所以所以所以，所以又因为，所以.（）由题得，所以函数的最小正周期为所以只需考虑的情况.由题得令.因为,所以【点睛】本题主要考查三角恒等变换和导数求函数的最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.22在极坐标系中，曲线的极坐标方程为，以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数）.（）求曲线的直角坐标方程以及直线的普通方程；（）若为曲线上的动点，求点到直线的距离的最大值.【答案】（） （）【解析】（）先利用极坐标公式求出曲线C的直角坐标方程，再把直线l的参数方程化成普通方程；（）设点P,再求出距离的表达式求出其最大值.【详解】（）由题得，所以曲线C的直角坐标方程为消去直线的参数方程中的t得，所以直线l的普通方程为.（）设点P,所以点P到直线l的距离为，所以所以所以时，.所以点到直线的距离的最大值为.【点睛】本题主要考查极坐标方程、参数方程和直角坐标方程的互化，考查圆锥曲线参数方程的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.23已知、均为正实数.（）若，求证：（）若，求证：【答案】()证明见解析；()证明见解析.【解析】试题分析：（）先证明，再证明，从而可得结果；（）由， .试题解析：（），三式相加可得 ,.又均为正整数，成立 （）：， ,当且仅当，即时，“=”成立.第 18 页 共 18 页