1 课后作业 ( 二十四) ( 时间 45 分钟 ) 学业水平合格练( 时间 20 分钟 ) 1若直线3xya0 过圆x 2 y 22x 4y0 的圆心，则 a的值为 ( ) A 1 B1 C3 D 3 解析 因为圆x 2 y 22x4y 0 的圆心为 ( 1,2) ， 所以 3xya0 过点 ( 1,2) ， 即 3 2a0，所以a1. 答案 B 2若圆x 2 y 22x4y0 的圆心到直线 xya 0 的距离为 2 2 ，则a的值为 ( ) A 2 或 2 B. 1 2或 3 2 C2 或 0 D 2 或 0 解析 由圆心 (1,2)到直线的距离公式得 |1 2a| 2 2 2 ，得a0 或a2. 答案 C 3方程x 2 y 22ax b 20 表示的图形是 ( ) A一个圆 B只有当a0 时，才能表示一个圆 C一个点 Da，b不全为 0 时，才能表示一个圆 解析 (2a) 24b2 4( a 2 b 2) ， 当ab0 时，方程表示一个点； 当a0或b0时方程表示一个圆 答案 D 4已知两点A(0,3) ，B( 4,0) ，若点P是圆x 2 y 22y0 上的动点， 则 ABP面积的 最大值为 ( ) A13 B3 C. 13 2 D. 3 2 解析 圆的方程可化为x 2 ( y1) 21，圆心为 (0,1) ，半径为 1. 直线AB的方程为 2 x 4 y 31， 即 3x 4y120， | AB| 3 2 42 5. 圆心到直线AB的距离为d | 412| 5 8 5， P到直线AB的距离的最大值为 8 51 13 5 ，SABP的最大值为S 1 25 13 5 13 2 ，故 选 C. 答案 C 5 动点P到点A(8,0) 的距离是到点(2,0) 的距离的2 倍，那么点P的轨迹方程为 ( ) Ax 2 y 232 Bx 2 y 216 C(x 1) 2 y 216 Dx 2( y 1) 216 解析 设P(x，y) ，根据题意有2x2 2 y 2 x8 2 y 2，整理得 x 2 y 216. 答案 B 6过圆x 2 y 2 6x 4y 3 0 的圆心，且垂直于x 2y 11 0 的直线方程是 _ 解析 圆x 2 y 26x4y30 的圆心为 (3 ， 2)， 直线 x2y 110 的斜率为 1 2， 则所求直线的斜率为k 2，故所求直线方程为y 22(x3) ， 即 2xy80. 答案 2xy80 7 圆C：x 2 y 2 8x 4y 19 0 关 于 直 线xy 1 0 对 称 的 圆 的 方 程 为 _ 解析 圆C的方程可化为 (x4) 2( y 2) 21，圆心为 (4 ， 2) ，半径 r1. 设所求 的圆为 (xa) 2 ( yb) 2 1，则有 b2 a4 1 1， a4 2 b2 2 10， 即 ab6， ab 4， 解得 a1， b 5. 所以所求圆的方程为(x1) 2( y5) 21. 答案 (x 1) 2( y5) 21 8由方程x 2 y 2 x(m1)y 1 2m 2 0 所确定的圆中，最大面积是 _ 解析 r 2 1m1 241 2m 2 4 m 2 2m2 4 ， 所以当m 1 时，r 2 max 3 4，所以 Smax3 4. 3 答案 3 4 9设圆的方程为x 2 y 2 4x5 0， (1) 求该圆的圆心坐标及半径； (2) 若此圆的一条弦AB的中点为P(3,1) ，求直线AB的方程 解(1) 将x 2 y 24x 50 配方得： ( x2) 2 y 29. 圆心坐标为 C(2,0)，半径为 r3. (2) 设直线AB的斜率为k. 由圆的几何性质可知：CPAB， kCPk 1. 又kCP1 0 3 21， k 1. 直线AB的方程为y1 (x 3)，即：xy 40. 10已知圆C的方程为x 2 y 2( m2)x(m 1)ym20， 根据下列条件确定实数m 的取值，并写出相应的圆心坐标和半径 (1) 圆的面积最小； (2) 圆心距离坐标原点最近 解因为 (m2) 2( m 1) 24( m2)2m 26m 13 2 m 3 2 217 2 0 恒成立，所以 无论m为何值，方程总表示圆， 且圆心坐标为 2m 2 ， m1 2 ， 圆的半径r 1 2 2m 26m 13. (1) 当圆的半径最小时，圆的面积最小 r 1 2 2m 26m 13 1 2 2m 3 2 217 2 34 4 ， 当且仅当m 3 2时，等号成立，此时面积最小 所以当圆的面积最小时，圆心坐标为 1 4， 5 4 ，半径r 34 4 . (2) 圆心到坐标原点的距离d 1 2 2m 1 2 29 2 32 4 ，当且仅当m1 2时，圆心到坐标 原点的距离最近 此时，圆心坐标为 3 4， 3 4 ，半径r 42 4 . 应试能力等级练( 时间 25 分钟 ) 11已知两点A( 2,0) ，B(0,2)，点C是圆x 2y22x0 上任意一点，则 ABC面积 的最小值是 ( ) A32 B32 4 C3 2 2 D. 32 2 解析 lAB：xy20，圆心 (1,0)到l的距离 d |3| 2 3 2 ，AB边上的高的最小值为 3 2 1. Smin 1 22 2 3 2 1 32. 答案 A 12若曲线C：x 2 y 22ax4ay5a2 40 上所有的点均在第二象限内，则 a的取值 范围为 ( ) A( ， 2) B( ， 1) C(1，)D(2 ，) 解析 曲线C的方程可化为 (xa) 2( y2a) 24，则曲线 C表示的是以 ( a,2a) 为 圆心， 2 为半径的圆要使圆C上所有的点均在第二象限内，则圆心( a,2a) 必须在第二象 限，从而有a0，并且圆心到两坐标轴的最短距离应该大于圆C的半径易知圆心到两坐标 轴的最短距离为| a| ，则有 | a|2 ，故a2. 答案 D 13若A(5,0)、B( 1,0) 、C( 3,3) 三点的外接圆为M，点D(m,3)在M上，则m _. 解析 设过A(5,0)、B( 1,0) 、C( 3,3) 的圆的一般方程为x 2 y 2 DxEyF 0. 依题意有 5 2025D E0F0， 1 202 DE0F0， 3 2323D 3FF0， 解得 D 4， E 25 3 ， F 5， 即所求圆的方程为x 2 y 24x25 3 y50. 因为点D(m,3)在M上， 所以m 2324m 25 3 3 50， 解得m 3 或m7. 答案 3 或 7 14若直线l：axby10 始终平分圆M：x 2y24x2y10 的周长，则 ( a2) 2 5 (b2) 2 的最小值为 _ 解析 圆M的圆心为 ( 2， 1) ，由题意知点M在直线l上，所以 2ab10， 所以b 2a1，所以 (a2) 2( b2) 2( a2) 2( 2a12)25a255. 答案 5 15在ABC中， |BC| 4， |AB| 3|AC|. (1) 建立适当的直角坐标系，求A的轨迹方程，并说明是何种曲线； (2) 求ABC面积的最大值 解(1) 以BC所在的直线为x轴，B为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系 则B、C的坐标分别为B(0,0) ，C(4,0) 设A的坐标为 (x，y) ，(y0) 由|AB| 3|AC| ，得x 2y23 x4 2y2， 化简得x 2 y 29x180， 即A的轨迹方程为x 9 2 2y29 4( y0) 所以A的轨迹是以 9 2，0 为圆心，半径为 3 2的圆 除去点 (3,0) 与(6,0) (2) 由(1) 知，当点A到BC的距离的最大值为半径r 3 2时， ABC的面积最大，最大值 为1 2| BC| r 1 24 3 2 3.