第十一章 全等三角形本章小结小结1 本章概述本章的主要内容是全等三角形，主要学习全等三角形的性质及各种三角形全等的判定方法，同时学习如何利用全等三角形进行证明学习利用三角形全等推导出角平分线的性质及判定全等三角形是研究图形的重要工具，是几何学习中最基础的知识，为今后学习四边形、圆等内容打下基础小结2 本章学习重难点【本章重点】 1全等三角形的性质及各种判定三角形全等的方法2角平分线的性质及判定3理解证明的基本过程，掌握用综合法证明的格式【本章难点】 1根据不同的条件合理选用三角形全等的判定方法，特别是对于“SSA”不能判定三角形全等的认识2角平分线的性质和判定的正确运用3用综合法证明的格式小结3 学法指导1注意在探究中掌握结论2三角形全等的判定方法较多，注重在对比中掌握这些结论3注重推理能力的培养，推理时前因后果写清楚，过程书写要严密，有理有据4注重联系实际5注意分类讨论思想、转化思想、数学建模思想等的应用，掌握作辅助线的技巧知识网络结构图专题总结及应用一、知识性专题专题1 三角形全等的判定与性质的综合应用【专题解读】 三角形的全等的判定要根据题目的具体情况确定采用SAS，ASA，AAS，SSS，HL中的哪个定理，而且这几个判定方法往往要结合其性质综合解题 例1 如图11-113所示，BD，CE分别是ABC的边AC和AB上的高，点P在BD的延线上，BPAC，点Q在CE上，CQAB （1）求证APAQ；（2）求证APAQ 分析 （1）欲证APAQ，只需证对应的两个三角形全等，即证ABPQCA即可（2）在（1）的基础上证明PAQ90证明：（1）BD，CE分别是ABC的边AC，AB上的高， ADBAEC90 在RtAEC和RtADB中， ABP90BAD，ACE90一DAB， ABPACE 在ABP和QCA中，BPCA（已知），ABPACE（已证），ABQC（已知），ABPQCA（SAS）APAQ（全等三角形的对应边相等）（2）ABPQCA，PCAQ（全等三角形的对应角相等）又PPAD90，CAQPAD90，即QAP90，APAQ例2 若两个锐角三角形的两边和其中一边上的高分别对应相等试判断这两个三角形的第三边所对的角之间的关系，并说明理由分析 运用全等三角形的判定和性质，探讨两角之间的关系，题中没给图形，需自己根据题意画出符合题意的图形，结合图形写出已知、结论 已知：如图11-114所示，在ABC和ABC中，ABAB，BCBC，AD，AD分别是BC，BC上的高，且ADAD判断B和B的关系 解：BB理由如下：AD，AD分别是BC，BC边上的高， ADBADB90 在RtADB和RtADB中，RtADBRtADB（ HL）BB（全等三角形的对应角相等）规律方法 边、角、中线、角平分线、高是三角形的基本元素，从以上诸元素中选取三个条件组合，可以得到关于三角形全等判定的若干命题例3 如图11-115所示，已知四边形纸片ABCD中，ADBC，将ABC，DAB分别对折，如果两条折痕恰好相交于DC上一点E，点C，D都落在AB边上的F处，你能获得哪些结论?分析 对折前后重合的部分是全等的，从线段关系、角的关系、面积关系等不同方面进行探索，以获得更多的结论，这是一道开放性试题解：ADAF，EDEFEC，BCBF AD十BCAB，DEEC2EF 12，34，DAFE，CEFB，DEAFEA， CEBFEB AEB90或EAEB SDAESEAF，SECBSEFB.【解题策略】 本题融操作、观察、猜想、推理于一体，需要具有一定的综合能力推理论证既是说明道理，也是探索、发现的途径善于在复杂的图形中发现、分解、构造基本的全等三角形是解题的关键需要注意的是，通常面临以下情况时，我们才考虑构造全等三角形：（1）给出的图形中没有全等三角形，而证明结论需要全等三角形（2）从题设条件中无法证明图形中的三角形全等，证明需要另行构造全等三角形专题2全等三角形的性质及判定的实际应用【专题解读】全等三角形的知识在实际问题中的应用是常见的一种类型题，解题的是键是将实际问题抽象成几何问题来解决，一般难度不大 例4 如图11-116所示，太阳光线AC与AC是平行的，同一时刻两根高度相同的木杆在太阳光照射下的影子一样长吗?说说你的理由分析 本题欲确定影子一样长，实际就是证明BC与BC相等，而要证明两条线段相等，常常证明它们所在的两个三角形全等解：影子一样长理由如下： 因为ABBC，ABBC， 所以ABCABC90 因为ACAC，所以ACBACB在ABC和ABC中，ABCABC,ACBACB,ABAB,所以ABCABC（AAS），所以BCBC（全等三角形的对应边相等）专题3 角平分线的性质及判定的应用【专题解读】 此部分内容单独考查时难度不大，要注意角平分线的性质及判定的区别与联系 例5 如图11-117所示P是AOB的平分线上的一点，PCAO于 C，PDOB于D，写出图中一组相等的线段 （只需写出一组即可） 分析 本题主要运用角平分线的性质定理来解决，同时本题是一道开放性试题，答案不唯一故填PDPC（或ODOC） 【解题策略】 OC与OD相等可通过三角形全等来得到 例6 如图11-118所示，在ABC中，AD平分BAC，DGBC且平分BC交BC于G，DEAB 于 E，DFAC交AC的延长线于F（1）说明BECF的理由；（2）如果ABa，ACb，求AEBE的长分析 本题综合考查了角平分线与全等三角形的性质及判定，难度中等 解：（1）连接BD，CD， AD是BAC的平分线，且DEAB，DFAC， DEDF 又DGBC且BGGC， DBGDCG，DBDC RtBEDRtCFD（HL）， BECF （2）DEAB，DFAC，DEADFA90在RtADE和RtADF中，RtADF中RtADERtADF（HL）AEAF又BECF，aBE6BE2BEab，即BEAEABBEa=专题4 利用尺规作图，作一个三角形与另一个三角形全等或作一个角的平分线【专题解读】 尺规作图是数学的重要知识之一，作一个角的平分线和作一个三角形全等于另一个三角形是尺规作图中的基本作图很多复杂的图形都是通过这些简单的基本图形作出来的例7 如图11-119所示，已知ABC，在ABC内求作一点P，使它到ABC三边的距离相等（保留作图痕迹，不写作法）分析 到三角形三边距离相等的点是三角形三条角平分线的交点，其实只需作出两个角的平分线，即可确定P点的位置，作图痕迹指的是确定点P的过程解：如图11-120所示二、思想方法专题专题5分类讨论思想【专题解读】 对于三角形全等的有些性质及判定的问题，由于已知条件的不确定或开放性问题常用到分类讨论思想例8如图11- 121所示，在ABD和ACE中，有下列四个论断： ABAC ADAE； BC； BDCE请以其中三个论断作为条件余下一个作为结论，写出一个正确的数学命题（用序号的形式写出）： 分析 解决本题一方面用分类讨论的数学思想来考虑问题，另一方面需熟练应用全等三角形的性质及判定方法具体分析如下：（1）以为结论为条件：在ABD和ACE中，ABDACE ABAC不能以为条件，为结论（2）以为结论，为条件：在ABD和ACE中， ABDACE（SAS）ADAE能以为条件，为结论（3）以为结论，为条件：在ABD和ACE中，ABDACE（SSS）BC能以为条件，为结论（4）以为结论，为条件：在ABD和ACE中， ABDACEC BDCE不能以为条件，为结论正确的结果有两种：其一：；其二：两者任选其一即可故填或专题6转化思想【专题解读】 三角形全等是证明线段相等、角相等最常用的方法证线段（或角）相等往往转化为证线段（或角）所在的两个三角形全等当需证的两个全等的三角形不明显时，还要添加辅助线，构造全等三角形 例9 如图11-122所示，已知ABCD，ADBC，求证BD，AC分析 本题是证明四边形的对角相等，需构造全等三角形，转化为证三角形全等为此，需作辅助线AC，把四边形ABCD分成ACD和CBA证明：连接AC，在ADC和CBA中， ADCCBA（SSS）DB 同理DABDCB例10 如图11-123所示ABC中，BD为ABC的平分线，DE AB于E，且DE2，AB9，BC6，你能求出ABC的面积吗?分析 要求ABC的面积，只需分别求出ABD和BCD的面积即可在ABD中底AB高DE都知道在BCD中，底BC知道，高没画出来，所以问题就转化为求BCD的高，这里可以作辅助线DFBC于F解：作DFBC于F 因为BD是ABC的平分线，DEAB，DFBC，所以DEDF 由DE2 cm，可知DF2 cm 所以SABCSABDSBCD ABDE BCDF 926215（2）专题7数学建模思想【专题解读】 全等三角形在实际生活中有很多的应用比如，测量工具内槽宽的工具 卡钳，测量不能直接测量的两点间的距离等对于这些实际问题，往往是根据实际情况，建立数学模型，利用数学原理解决问题例11 如图11-124所示的是人民公园中的荷花池，现要测量此荷花池两旁A，B两棵树之间的距离，但无法直接测量，请你运用所学知识，以卷尺和测角仪为测量工具设计一种测量方案要求：（1）画出你设计的测量平面图；（2）简述测量方法，并写出测量数据（长度用a，b，c，表示，角度用 ,，表示）；（3）根据你测量的数据，计算A,B两棵树之间的距离分析 依题意结合图形解题，我们可以用SAS，ASA，AAS等方法构造出两个全等三角形，即可用卷尺测出与AB相等的边的长度