2014年全国统一高考（）理科真题及详解 一选择题：本大题共10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个 选项中，选择符合题目要求的选项。 1.已知iRba,是虚数单位，若ia与bi2互为共轭复数，则 2 ）（bia （A）i 45(B) i 45(C) i 43(D) i 43 答案： D 解析：ai与2bi互为共轭复数， 22 2 2,12 4434 ababii iii 2.设集合, 2, 0,2,21xyyBxxA x 则BA (A) 0,2 (B) (1,3) (C) 1,3) (D) (1,4) 答案： C 解析： 1221213 2 ,0,21,4 1,3 x xxx yxy AB Q Q 3.函数 1)(log 1 )( 2 2 x xf的定义域为 (A) ) 2 1 0( ，(B) )2( ，(C) ),2() 2 1 0( ，(D) )2 2 1 0(， 答案： C 解析： 2 2 log10 x 2 log1x或 2 log1x 2x或 1 0 2 x。 4. 用反证法证明命题“设,Rba则方程0 2 baxx至少有一个实根”时要做的假设 是 (A)方程0 2 baxx没有实根(B) 方程0 2 baxx至多有一个实根 (C)方程0 2 baxx至多有两个实根(D)方程0 2 baxx恰好有两个实根 5.已知实数yx,满足)10(aaa yx ，则下列关系式恒成立的是 (A) 1 1 1 1 22 yx (B) )1ln()1ln( 22 yx(C) yxsinsin(D) 33 yx 答案： D 解析： ,01 xy aaa xy Q ，排除 A,B ，对于 C ，sinx是周期函数，排除C。 6.直线xy4与曲线 2 xy在第一象限围成的封闭图形的面积为 （A）22（B）24（C）2（D）4 答案： D 解析： 3 4xxQ， 32 4422xxxxxxxQ 第一象限 2 324 0 1 42840 4 xxxx 7.为了研究某药厂的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒压数据（单位： kPa）的分组区间为12,13),13,14),14,15),15,16),16,17,将其按从左到右的顺序分别 编号为第一组，第二组，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知 第一组与第二组共有20 人，第三组中没有疗效的有6 人，则第三组中有疗效的人数为 0 舒张压 /kPa 频率 / 组距 0.36 0.24 0.16 0.08 171615141312 （ A）6（B）8（C）12（ D ）18 答案： C 解析：第一组与第二组频率之和为0.24+0.16=0.4 200.450 500.3618 18612 8.已知函数12xxf , kxxg .若方程 xgxf有两个不相等的实根，则实数 k 的取值围是 （A），（ 2 1 0（B），（1 2 1 （C），（ 21（D），（2 答案： B 解析： 画出fx的图象最低点是2,1，g xkx过原点和2,1时斜率最小为 1 2 ，斜率 最大时g x的斜率与1fxx的斜率一致。 9. 已知yx,满足的约束条件 0,3-y-2x 0,1-y-x 当目标函数0)b0,by(aaxz在该约束 条件下取得最小值52时， 22 ab的最小值为 （A）5（B）4（C）5（D ）2 答案： B 解 析 ： 10 230 xy xy 求 得 交 点 为2,1， 则22 5ab， 即 圆 心0,0到 直 线 22 50ab的距离的平方 2 22 5 24 5 。 10. 已知0b0,a,椭圆 1 C的方程为1 x 2 2 2 2 b y a ，双曲线 2 C的方程为1 x 2 2 2 2 b y a ， 1 C与 2 C的离心率之积为 2 3 ，则 2 C的渐近线方程为 （A）02xy（B）02yx（C）02yx（ D）0y2x 答案： A 解析： 222 2 122 222 2 2 22 44 2 44 1 24 3 4 4 2 2 cab e aa cab e aa ab eeab a b a 二填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分，答案须填在题中横线上。 11. 执行下面的程序框图，若输入的x的值为1， 则输出的n的值为。 答案： 3 解析：根据判断条件034 2 xx，得31x， 输入1x 第一次判断后循环，11,21nnxx 第二次判断后循环，21,31nnxx 第三次判断后循环，31,41nnxx 第四次判断不满足条件，退出循环，输出3n 12. 在ABCV中，已知tanAB ACA uu u r uuu r ，当 6 A时，ABCV的面积为。 答案： 6 1 解析：由条件可知AAcbACABtancos， 当 6 A，, 3 2 bc 6 1 sin 2 1 AbcS ABC 13. 三棱锥PABC中，,D E分别为,PB PC的中点，记三棱锥DABE的体积为 1 V， PABC的体积为 2 V，则 1 2 V V 。 答案： 4 1 解析：分别过CE,向平面做高 21,h h，由E为PC的中点得 2 1 2 1 h h ， 由D为PB的中点得 ABPABD SS 2 1 ，所以 4 1 3 1 3 1 : 2121 hShSVV ABPABD 14. 若 4 6b ax x 的展开式中 3 x项的系数为20 ，则 22 ab的最小值为。 答案： 2 解析：将 62 )( x b ax展开，得到 rrrr r xbaCT 3126 61 ，令3,3312rr得. 由 20 333 6 baC，得1ab，所以22 22 abba. 15. 已知函数( )()yf xxR，对函数yg xxI，定义g x关于fx的“对称 函数”为函数yh xxI，yh x满足：对任意xI， 两个点,x h xx g x 关于点, x fx对称，若h x是 2 4g xx关于3fxxb的“对称函数” ，且 h xg x恒成立，则实数b的取值围是。 答案：102b 解析：根据图像分析得，当bxxf3)(与 2 4)(xxg在第二象限相切时， 102b，由)()(xgxh恒成立得102b. 三解答题：本大题共6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤。 16. （本小题满分12 分） 已知向量,cos2,sin2 ,amxbx n vv ，函数fxa b v v ，且yfx的图像过 点,3 12 和点 2 , 2 3 . （I）求,m n的值； （II ）将yfx的图像向左平移0个单位后得到函数yg x的图像，若 yg x图像上各最高点到点0,3的距离的最小值为1，求yg x的单调递增区间. 解： （）已知xnxmbaxf2cos2sin)(， )(xf过点)2, 3 2 (),3, 12 ( 3 6 cos 6 sin) 12 (nmf 2 3 4 cos 3 4 sin) 3 2 (nmf 2 2 1 2 3 3 2 3 2 1 nm 解得 1 3 n m （）) 6 2sin(22cos2sin3)(xxxxf )(xf左移后得到) 6 22sin(2)(xxg 设)(xg的对称轴为 0 xx ，11 2 0 xd 解得0 0 x 2)0(g，解得 6 xxxxg2cos2) 2 2sin(2) 63 2sin(2)( zkkxk,222 zkkxk, 2 )(xf的单调增区间为zkkk, 2 17. （本小题满分12 分） 如 图， 在 四 棱 柱 1111 ABCDA B C D中 ， 底 面ABCD是 等 腰梯 形 ， 60 ,DAB o 22ABCD，M是线段AB的中点 . （I）求证： 111 / /C MA ADD平面； B1 C1D1 A1 D C B M A （II ）若 1 CD垂直于平面 ABCD且 1= 3CD，求平面11 C D M和平面 ABCD所成的角（锐 角）的余弦值 . 解： （）连接 1 AD 1111 DCBAABCD为四棱柱， 11 /DCCD 11D CCD 又M为AB的中点，1AM AMCD /,AMCD 11 /DCAM, 11D CAM 11D AMC为平行四边形 11/ MC AD 又 111 ADDAMC平面 111 ADDAAD平面 111/ ADDAAD平面 （）方法一： 11 /BAAB 1111 /DCBA 共面与面 1111 DABCMCD 作ABCN,连接ND1 则NCD1即为所求二面角 在ABCD中，60,2,1DABABDC 2 3 CN 在CNDRt 1 中， 3 1 CD , 2 3 CN 2 15 1N D 方法二：作ABCP于p点 以C为原点，CD为x轴，CP为y轴， 1 CD为z轴建立空间坐标系， )0, 2 3 , 2 1 (),3,0 ,0(),3, 0, 1( 11 MDC )3, 2 3 , 2 1 (),0,0, 1( 111 MDDC 设平面MDC 11 的法向量为),( 111 zyxn 03 2 3 2 1 0 111 1 zyx x ) 1 ,2 ,0( 1 n 显然平面ABCD的法向量为)0 ,0 , 1( 2 n 5 5 5 1 ,cos 21 21 21 nn nn nn 显然二面角为锐角， 所以平面MDC 11 和平面ABCD所成角的余弦值为 5 5 5 5 15 3 2 15 2 3 cos 1 1 ND NC CND 18. （本小题满分12 分） 乒乓球台面被球网分成甲、乙两部分.如图，甲上有两个不相交的区域,A B，乙被划分 为两个不相交的区域,C D.某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定：回 球一次，落点在C上的概率为 1 5 ，在D上的概率为 3 5 .假设共有两次来球且落在,A B上各 一次，小明的两次回球互不影响.求： （I）小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率； （II ）两次回球结束后，小明得分之和的分布列与数学期望. B A C D 解： （I）设恰有一次的落点在乙上这一事件为A 10 3 5 4 6 1 5 1 6 5 )(AP （II ）643210，的可能取值为 10 1 5 1 2 1 )6(, 30 11 5 1 3 1 5 3 2 1 )4( 15 2 5 1 6 1 5 1 2 1 )3(, 5 1 5 3 3 1 )2( 6 1 5 3 6 1 5 1 3 1 )1(, 30 1 5 1 6 1 )0( PP PP PP 的分布列为 0 1 2 3 4 6 P 30 1 6 1 5 1 15 2 30 11 10 1 30 91 10 1 6 30 11 4 15 2 3 5 1 2 6 1 1 30 1 0)(E其数学期望为 19.( 本小题满分12 分） 已知等差数列 n a的公差为 2，前n项和为 n S，且 1 S， 2 S， 4 S成等比数列。 （I）求数列 n a 的通项公式； （II ）令 n b=, 4 )1( 1 1 nn n aa n 求数列 n b的前n项和 n T。 解： （I）,64,2,2 141211 daSdaSaSd 解得12,1 1 naa n （II ）) 12 1 12 1 ()1( 4 )1( 1 1 1 nnaa n b n nn n n ) 12 1 12 1 () 12 1 32 1 () 7 1 5 1 () 5 1 3 1 () 3 1 1( nnnn Tn n 为偶数时，当 12 2 12 1 1 n n n Tn ) 12 1 12 1 () 12 1 32 1 () 7 1 5 1 () 5 1 3 1 () 3 1 1( nnnn Tn n 为奇数时，当 12 22 12