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一、选择题 1、(2018 北京昌平区初一第一学期期末)用“”定义一种新运算:对于任意有理数a 和 b,规定 a b = ab 2 + a.如: 1 3=1 32+1=10.则 (-2) 3 的值为 A10 B-15C. -16 D -20 答案: D 二、填空题 3、 (2018 北京西城区七年级第一学期期末附加题)1用 “”定义新运算: 对于任意有理数a,b,当 ab 时,都有 2 a ba b ;当 ab 时,都有 2 a bab 那么, 26 = , 2 () 3 ( 3)= 答案: 24,-6 4 (2018 北京海淀区第二学期)定义:圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦 阿基米德折弦定理:如图1,AB和BC组成圆的折弦,ABBC,M是弧ABC的中点,MFAB于 F,则AFFBBC 如图 2,ABC中,60ABC,8AB,6BC, D是AB上一点,1BD,作DEAB交ABC的外 接圆于E,连接EA,则EAC=_ 答案 60 5、(2018 北京交大附中初一第一学期期末)如图 ,在平面内, 两条直线l1,l2相交于点 O,对于平面内任意一点M,若 p、q 分别是点M 到直线 l1,l2的距离,则称(p, q)为点 M 的“距离坐标” 根据上述规定, “距离坐标”是(2, 1)的点共有 _个 三、解答题 6、 (2018北京平谷区初一第一学期期末) 阅读材料:规定一种新的 运算: a c = b adbc d 例如: 1 2 14 - 23 = -2. 3 4 (1)按照这个规定,请你计算 56 24 的值 (2)按照这个规定,当5 2 1 2 2 42 x x 时求x的值 答案( 1) 56 24 =20-12=8 2 图2图1 D E C B A F M C B A (2)由 5 2 1 2 2 42 x x 得 52242 2 1 )()(xx4 解得, x=1 5 7、 (2018 北京海淀区七年级第一学期期末)对于任意四个有理数a,b,c,d,可以组成两个有理数对(a, b)与( c,d).我们规定: (a,b) ( c,d)=bcad. 例如: (1,2)(3,4)=2 3 1 4=2 根据上述规定解决下列问题: (1)有理数对( 2, 3)(3, 2)=; (2)若有理数对(3,2x1) ( 1,x+1)=7,则 x=; (3)当满足等式(3,2x1) ( k,xk) =52k 的 x 是整数时,求整数k 的值 答案 . 解: (1) 5.分 (2)1 .分 (3)等式( 3,2x1)(k,xk)=52k 的 x 是整数 ( 2x1)k( 3) (xk)=52k ( 2k3)x=5 5 23 x k k 是整数 2k+3=1 或 5 k=1, 1, 2, 4.分 8、(2018 北京朝阳区七年级第一学期期末)对于任意有理数a,b,定义运算: ab=()1a ab,等式右边 是通常的加法、减法、乘法运算,例如,25=2( 2+5) 1=13 ;( 3)( 5)3( 35)123 (1)求( 2) 1 3 2 的值; (2)对于任意有理数m,n,请你重新定义一种运算“” ,使得 5320,写出你定义的运算:mn(用 含 m,n 的式子表示) 答案解:(1)( 2) 11 32( 23)1 22 4. (2)答案不唯一,例如:mn(1)m n. 9 (2018 北京石景山区初三毕业考试)对于平面上两点A, B,给出如下定义:以点A 或 B 为圆心, AB 长 为半径的圆称为点A,B 的“确定圆” 如图为点A,B 的“确定圆”的示意图 (1)已知点A 的坐标为( 1,0),点B的坐标为(3,3), 则点 A,B 的“确定圆”的面积为_; (2)已知点A 的坐标为(0,0),若直线yxb上只存在一个点B,使得点 A,B A B 的“确定圆”的面积为9,求点 B 的坐标; (3)已知点A 在以(0)P m,为圆心,以1 为半径的圆上,点B 在直线 3 3 3 yx上, 若要使所有点A,B 的“确定圆”的面积都不小于9,直接写出m的取值范围 解: ( 1)25; 2 分 (2)直线yxb上只存在一个点 B,使得点,A B的“确定圆”的面积 为9, A的半径3AB且直线yxb与A相切于点B,如图, ABCD,45DCA 当0b时,则点 B在第二象限 过 点B作BEx轴于点 E, 在Rt BEA中,45BAE,3AB, 3 2 2 BEAE 32 32 22 B (,) 当0b时,则点B在第四象限 同理可得 323 2 22 B(,) 综上所述,点B的坐标为 3232 22 (,)或 3232 22 (,) 6 分 (3)5m或11m 10(2018 北京延庆区初三统一)平面直角坐标系xOy 中, 点 1 (A x, 1) y与 2 (B x, 2) y, 如果满足 12 0 xx, 12 0yy,其中 12 xx,则称点A 与点 B 互为反等点 已知:点C(3,4) (1)下列各点中,与点C 互为 反等点; D(3,4),E( 3,4) ,F(3,4) (2)已知点G(5,4) ,连接线段CG,若在线段 CG 上 坐 标 p x的存在两点P,Q 互为反等点,求点P 的横 取值范围; y x l l E C D B B 3 A -1 -2 -3 -4 -5 -6 -6-5-4-3 -2 -1 y 1 2 3 4 5 6 x 6 5432 1 O (3)已知 O 的半径为r,若 O 与( 2)中线段CG 的两个交点互为反等点, 求 r 的取值范围 解: (1)F 1 分 (2)-3 p x 3 且 p x 0 4 分 (3)4或.8分 2 2 2 22 2222 33x 图 9 图 10 16. (2018 北京平谷区中考统一)在平面直角坐标系xOy 中, 点 M 的坐标为 11,xy ,点 N 的坐标为 22,xy , 且 12 xx, 12 yy,以 MN 为边构造菱形, 若该菱形的两条对角线分别平行 于 x 轴, y 轴,则称该菱形为边的“坐标菱形” . (1)已知点 A(2,0) ,B(0,23) ,则以AB 为边的“坐标菱形” 的最小内角为_; (2)若点 C(1,2) ,点 D 在直线 y=5 上,以 CD 为边的“坐标菱形” 为正方形,求直线CD 表达式; (3) O 的半径为2,点 P 的坐标为 (3,m) .若在 O 上存在一点Q,使得以 QP 为边的“坐标菱形”为正 方形,求 m 的取值范围 解: ( 1)60; 1 (2)以 CD 为边的“坐标菱形”为正方形, 直线 CD 与直线 y=5 的夹角是45 过点 C 作 CEDE 于 E D(4,5)或2,5 3 直线 CD 的表达式为1yx或3yx 5 (3)15m或51m 7 17 (2018 北京顺义区初三)如图 1, 对于平面内的点P 和两条曲线 1 L、 2 L给 出 y x E H y=x+b2 y=x+b 1 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 41234 O D 图1 Q2 Q1 L2 L1 P 8 6 4 2 2 4 6 8 5510DC B A O 如下定义:若从点P 任意引出一条射线分别与 1 L、 2 L 交于 1 Q、 2 Q ,总有 1 2 PQ PQ 是定值,我们称曲线 1 L 与 2 L “曲似”,定值 1 2 PQ PQ 为“曲似比” ,点 P 为“曲心” 例如:如图2,以点 O为圆心,半径分别为 1 r、 2 r(都是常数)的两个同心圆 1 C、 2 C,从点 O任意引出一条射线分别与两圆交于点M、N,因为总有 1 2 rO M O Nr 是定值,所以同心圆 1 C与 2 C曲似,曲似比为 1 2 r r ,“曲心”为 O ( 1)在平面直角坐标系xOy 中,直线ykx与抛物线 2 yx、 2 1 2 yx分别交于点A、B,如图 3 所示, 试 判断两抛物线是否曲似,并说明理由; (2)在( 1)的条件下,以O 为圆心, OA 为半径作圆,过 点 B 作 x 轴的垂线,垂足为C,是否存在k 值,使 O 与直线 BC 相切?若存在,求出k 的值;若不 存 在,说明理由; ( 3)在( 1) 、 (2)的条件下,若将“ 2 1 2 yx”改为 “ 21 yx m ” ,其他条件不变,当存在O 与直线BC 相切时,直接写出m 的取值范围及k 与 m 之间的关系式 解: ( 1)是 过点 A,B 作 x 轴的垂线,垂足分别为D,C 依题意可得A(k, k2) , B(2k, 2k2) 2 分 因此 D(k, 0) , C(2k, 0) ADx 轴, BCx 轴, ADBC 1 22 OAODk OBOCk 两抛物线曲似,曲似比是 1 2 3 分 (2)假设存在k 值,使 O 与直线 BC 相切 则 OA=OC= 2k, 又 OD=k ,AD=k 2,并且 OD2+AD2= OA2, k2+( k 2) 2=(2k)2 3k (舍负) 由对称性可取3k 综上,3k6 分 图2 C2 C1 N M O (3) m 的取值范围是m1, k 与 m 之间的关系式为k 2=m 2- 1 8 分 18、 (2018 年北京昌平区第一学期期末质量抽测)对于平面直角坐标系xOy 中的点 P,给出如下定义:记点 P 到 x 轴的距离为 1 d,到 y 轴的距离为 2 d,若 12 dd,则称 1 d为点 P 的最大距离;若 12 dd,则称 2 d 为点 P 的最大距离 . 例如:点P(3,4)到到 x 轴的距离为4,到 y 轴的距离为3,因为 34,所以点P 的最大距离为 4. (1)点 A(2,5)的最大距离为; 若点 B(a,2)的最大距离
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