一、选择题 1、(2018 北京昌平区初一第一学期期末)用“”定义一种新运算：对于任意有理数a 和 b，规定 a b = ab 2 + a.如： 1 3=1 32+1=10.则 （-2） 3 的值为 A10 B-15C. -16 D -20 答案： D 二、填空题 3、 （2018 北京西城区七年级第一学期期末附加题）1用 “”定义新运算： 对于任意有理数a，b，当 ab 时，都有 2 a ba b ；当 ab 时，都有 2 a bab 那么， 26 = ， 2 () 3 ( 3)= 答案： 24，-6 4 （2018 北京海淀区第二学期）定义：圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦 阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC组成圆的折弦，ABBC，M是弧ABC的中点，MFAB于 F，则AFFBBC 如图 2，ABC中，60ABC，8AB，6BC， D是AB上一点，1BD，作DEAB交ABC的外 接圆于E，连接EA，则EAC=_ 答案 60 5、(2018 北京交大附中初一第一学期期末)如图 ,在平面内， 两条直线l1，l2相交于点 O，对于平面内任意一点M，若 p、q 分别是点M 到直线 l1，l2的距离，则称(p， q)为点 M 的“距离坐标” 根据上述规定， “距离坐标”是(2， 1)的点共有 _个 三、解答题 6、 （2018北京平谷区初一第一学期期末） 阅读材料：规定一种新的 运算： a c = b adbc d 例如： 1 2 14 - 23 = -2. 3 4 （1）按照这个规定，请你计算 56 24 的值 （2）按照这个规定，当5 2 1 2 2 42 x x 时求x的值 答案（ 1） 56 24 =20-12=8 2 图2图1 D E C B A F M C B A （2）由 5 2 1 2 2 42 x x 得 52242 2 1 )()(xx4 解得， x=1 5 7、 （2018 北京海淀区七年级第一学期期末）对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对（a， b）与（ c，d）.我们规定： （a，b） （ c，d）=bcad. 例如： （1，2）（3，4）=2 3 1 4=2 根据上述规定解决下列问题： （1）有理数对（ 2， 3）（3， 2）=; （2）若有理数对（3，2x1） （ 1，x+1）=7，则 x=; （3）当满足等式（3，2x1） （ k，xk） =52k 的 x 是整数时，求整数k 的值 答案 . 解： （1） 5.分 （2）1 .分 （3）等式（ 3，2x1）（k，xk）=52k 的 x 是整数 （ 2x1）k（ 3） （xk）=52k （ 2k3）x=5 5 23 x k k 是整数 2k+3=1 或 5 k=1， 1， 2， 4.分 8、(2018 北京朝阳区七年级第一学期期末)对于任意有理数a，b，定义运算： ab=()1a ab，等式右边 是通常的加法、减法、乘法运算，例如，25=2（ 2+5） 1=13 ；( 3)( 5)3( 35)123 （1）求( 2) 1 3 2 的值； （2）对于任意有理数m，n，请你重新定义一种运算“” ，使得 5320，写出你定义的运算：mn（用 含 m，n 的式子表示） 答案解：（1）( 2) 11 32( 23)1 22 4. （2）答案不唯一，例如：mn(1)m n. 9 （2018 北京石景山区初三毕业考试）对于平面上两点A， B，给出如下定义：以点A 或 B 为圆心， AB 长 为半径的圆称为点A，B 的“确定圆” 如图为点A，B 的“确定圆”的示意图 （1）已知点A 的坐标为( 1,0)，点B的坐标为(3,3)， 则点 A，B 的“确定圆”的面积为_； （2）已知点A 的坐标为(0,0)，若直线yxb上只存在一个点B，使得点 A，B A B 的“确定圆”的面积为9，求点 B 的坐标； （3）已知点A 在以(0)P m，为圆心，以1 为半径的圆上，点B 在直线 3 3 3 yx上， 若要使所有点A，B 的“确定圆”的面积都不小于9，直接写出m的取值范围 解： （ 1）25； 2 分 （2）直线yxb上只存在一个点 B，使得点,A B的“确定圆”的面积 为9， A的半径3AB且直线yxb与A相切于点B，如图， ABCD，45DCA 当0b时，则点 B在第二象限 过 点B作BEx轴于点 E， 在Rt BEA中，45BAE，3AB， 3 2 2 BEAE 32 32 22 B （，） 当0b时，则点B在第四象限 同理可得 323 2 22 B（，） 综上所述，点B的坐标为 3232 22 （，）或 3232 22 （，） 6 分 （3）5m或11m 10（2018 北京延庆区初三统一）平面直角坐标系xOy 中， 点 1 (A x， 1) y与 2 (B x， 2) y， 如果满足 12 0 xx， 12 0yy，其中 12 xx，则称点A 与点 B 互为反等点 已知：点C(3，4) （1）下列各点中，与点C 互为 反等点； D(3，4)，E（ 3，4） ，F（3，4） （2）已知点G（5，4） ，连接线段CG，若在线段 CG 上 坐 标 p x的存在两点P，Q 互为反等点，求点P 的横 取值范围； y x l l E C D B B 3 A -1 -2 -3 -4 -5 -6 -6-5-4-3 -2 -1 y 1 2 3 4 5 6 x 6 5432 1 O （3）已知 O 的半径为r，若 O 与（ 2）中线段CG 的两个交点互为反等点， 求 r 的取值范围 解： (1)F 1 分 (2)-3 p x 3 且 p x 0 4 分 (3)4或.8分 2 2 2 22 2222 33x 图 9 图 10 16. （2018 北京平谷区中考统一）在平面直角坐标系xOy 中， 点 M 的坐标为 11,xy ，点 N 的坐标为 22,xy ， 且 12 xx， 12 yy，以 MN 为边构造菱形， 若该菱形的两条对角线分别平行 于 x 轴， y 轴，则称该菱形为边的“坐标菱形” . （1）已知点 A（2,0） ，B（0,23） ，则以AB 为边的“坐标菱形” 的最小内角为_； （2）若点 C（1,2） ，点 D 在直线 y=5 上，以 CD 为边的“坐标菱形” 为正方形，求直线CD 表达式； （3） O 的半径为2，点 P 的坐标为 (3,m) .若在 O 上存在一点Q，使得以 QP 为边的“坐标菱形”为正 方形，求 m 的取值范围 解： （ 1）60； 1 （2）以 CD 为边的“坐标菱形”为正方形， 直线 CD 与直线 y=5 的夹角是45 过点 C 作 CEDE 于 E D（4,5）或2,5 3 直线 CD 的表达式为1yx或3yx 5 （3）15m或51m 7 17 （2018 北京顺义区初三）如图 1， 对于平面内的点P 和两条曲线 1 L、 2 L给 出 y x E H y=x+b2 y=x+b 1 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 41234 O D 图1 Q2 Q1 L2 L1 P 8 6 4 2 2 4 6 8 5510DC B A O 如下定义：若从点P 任意引出一条射线分别与 1 L、 2 L 交于 1 Q、 2 Q ，总有 1 2 PQ PQ 是定值，我们称曲线 1 L 与 2 L “曲似”，定值 1 2 PQ PQ 为“曲似比” ，点 P 为“曲心” 例如：如图2，以点 O为圆心，半径分别为 1 r、 2 r（都是常数）的两个同心圆 1 C、 2 C，从点 O任意引出一条射线分别与两圆交于点M、N，因为总有 1 2 rO M O Nr 是定值，所以同心圆 1 C与 2 C曲似，曲似比为 1 2 r r ，“曲心”为 O （ 1）在平面直角坐标系xOy 中，直线ykx与抛物线 2 yx、 2 1 2 yx分别交于点A、B，如图 3 所示， 试 判断两抛物线是否曲似，并说明理由； （2）在（ 1）的条件下，以O 为圆心， OA 为半径作圆，过 点 B 作 x 轴的垂线，垂足为C，是否存在k 值，使 O 与直线 BC 相切？若存在，求出k 的值；若不 存 在，说明理由； （ 3）在（ 1） 、 （2）的条件下，若将“ 2 1 2 yx”改为 “ 21 yx m ” ，其他条件不变，当存在O 与直线BC 相切时，直接写出m 的取值范围及k 与 m 之间的关系式 解： （ 1）是 过点 A，B 作 x 轴的垂线，垂足分别为D，C 依题意可得A（k, k2） , B（2k, 2k2） 2 分 因此 D（k, 0） ， C（2k, 0） ADx 轴， BCx 轴， ADBC 1 22 OAODk OBOCk 两抛物线曲似，曲似比是 1 2 3 分 （2）假设存在k 值，使 O 与直线 BC 相切 则 OA=OC= 2k， 又 OD=k ，AD=k 2，并且 OD2+AD2= OA2， k2+（ k 2） 2=（2k）2 3k （舍负） 由对称性可取3k 综上，3k6 分 图2 C2 C1 N M O （3） m 的取值范围是m1， k 与 m 之间的关系式为k 2=m 2- 1 8 分 18、 （2018 年北京昌平区第一学期期末质量抽测）对于平面直角坐标系xOy 中的点 P，给出如下定义：记点 P 到 x 轴的距离为 1 d，到 y 轴的距离为 2 d，若 12 dd，则称 1 d为点 P 的最大距离；若 12 dd，则称 2 d 为点 P 的最大距离 . 例如：点P（3，4）到到 x 轴的距离为4，到 y 轴的距离为3，因为 34，所以点P 的最大距离为 4. （1）点 A（2，5）的最大距离为； 若点 B（a，2）的最大距离