2020届黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高三上学期期中试卷数学（理）试题一、单选题1是虚数单位,复数为纯虚数,则实数为( )ABCD【答案】A【解析】利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，然后令【详解】复数为纯虚数，故选：A.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.2若向量，则（ ）A8B7C6D5【答案】D【解析】根据向量的坐标，求解出的坐标表示，然后根据坐标形式下向量数量积的计算公式求解出的结果.【详解】因为，所以，所以，故选：D.【点睛】本题考查坐标形式下向量的数量积计算，难度较易.3等差数列的前n项和为，若，则（ ）A66B99C110D198【答案】B【解析】，可得，解得，利用求和公式及其通项公式的性质即可得出【详解】，解得，则，故选：B.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题4设，为两个平面，则的充要条件是（ ）A内有无数条直线与平行B，平行与同一个平面C内有两条相交直线与内两条相交直线平行D，垂直与同一个平面【答案】C【解析】充要条件的定义结合面面平行的判定定理可得结论【详解】解：对于A，内有无数条直线与平行，可得与相交或或平行；对于B，平行于同一条直线，可得与相交或或平行；对于C，内有两条相交直线与内两条相交直线平行，可得；对于D，垂直与同一个平面，可得与相交或或平行故选：C【点睛】本题考查了充要条件的定义和面面平行的判定定理，考查了推理能力，属于基础题5已知曲线在处的切线过点,则实数( )A3BCD【答案】D【解析】利用导数求出曲线f（x）（2a+1）ex在x0处的切线方程，把已知点的坐标代入即可求解a值【详解】由f（x）（2a+1）ex，得f（x）（2a+1）ex，f（0）2a+1，又f（0）2a+1，曲线f（x）（2a+1）ex在x0处的切线方程为y2a1（2a+1）（x0），代入（2，1），得2a4a+2，解得a故选：D【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，关键是简单复合函数的求导，是中档题6函数在的图象大致为（ ）ABCD【答案】D【解析】化简函数的解析式，判断函数的奇偶性，排除选项，通过特殊值判断选项即可【详解】函数，函数是奇函数，排除选项A，当时，排除选项C：当时，排除选项B.所以函数的图象只有D满足故选：D.【点睛】本题考查函数的图象的判断与应用，诱导公式的应用，考查转化思想以及计算能力7在各棱长均相等的四面体中，已知M，N分别是棱，中点，则异面直线与所成角的余弦值（ ）ABCD【答案】C【解析】取中点，连结，则，是异面直线与所成角，由此能求出异面直线与所成角的余弦值【详解】取中，连结，三棱锥的所有棱长都相等，M，N别是棱，的中点，是异面直线与所成角，设三棱锥的所有棱长为2，则，.，.异面直线与所成角的余弦值为.故选：C.【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题8若把函数的图象沿轴向左平移个单位,沿轴向下平移1个单位,然后再把图象上每个点的横坐标伸长到原来的倍(纵坐标保持不变),得到函数的图象,则的一个对称中心为（ ）ABCD【答案】B【解析】直接利用函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用求出函数的关系式，进一步求出函数的对称中心【详解】解：将的图象，把图象上每个点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标保持不变），得到的图象，再将函数的图象向上平移一个单位得到再将函数的图象向右平移个单位，得到，令，解得，当时，所以一个对称中心为，故选：【点睛】本题考查三角函数关系式的恒等变换，函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型9，是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题；如果，那么.如果，那么.如果，那么.如果，那么m与所成的角和n与所成的角相等.其中正确的命题的个数为（ ）A1B2C3D4【答案】C【解析】对，运用长方体模型，找出符合条件的直线和平面，即可判断；对，运用线面平行的性质定理和线面垂直的性质定理，即可判断；对，运用面面平行的性质定理，即可判断；对，由平行的传递性及线面角的定义，即可判断【详解】对于命题，可运用长方体举反例证明其错误：如图，不妨设为直线m，为直线n，所在的平面为，所在的平面为，显然这些直线和平面满足题目条件，但不成立；命题正确，证明如下：设过直线n的某平面与平面相交于直线l，则，由知，从而，结论正确；由平面与平面平行的定义知命题如果，那么.正确；由平行的传递性及线面角的定义知命题：如果，那么m与所成的角和n与所成的角相等，正确.故选：C.【点睛】本题考查命题的真假判断，考查空间线面、面面平行和垂直的位置关系，注意运用判定定理和性质定理，考查推理能力，属于中档题10在中，则三角形的形状是（ ）A钝角三角形B直角三角形C锐角三角形D无法确定【答案】A【解析】由向量的加法得出，结合题设条件得出，由于，不共线，得到，结合正弦定理的角化边公式得出，由余弦定理得出，得出为钝角，即可得出结论.【详解】由得所以 由于，不共线，则有由正弦定理有所以故故为钝角三角形故选：A【点睛】本题主要考查了判断三角形的形状，涉及正弦定理的角化边公式以及余弦定理，属于中档题.11数列的前n项和为，已知，（），若，则实数m的最小值为（ ）ABCD4【答案】B【解析】直接利用递推关系式的应用求出数列的通项公式，进一步解不等式求出结果【详解】由题意知，（），可变形为，所以数列是以为首项，3为公比的等比数列，所以，整理得，当时，由于，所以，整理得，由于，所以，当时，解得，故m的最小值为.故选：B.【点睛】本题考查的知识要点：数列的递推关系式的应用，主要考查的式学生对关系式的应用和计算能力，属于中档题12设定义在的函数的导函数为，且满足，则关于的不等式的解集为（ ）ABCD【答案】A【解析】根据条件，构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系即可判断出该函数在上为增函数，然后将所求不等式转化为对应函数值的关系，根据单调性得出自变量值的关系从而解出不等式即可【详解】解：，（3），（3），定义在的函数，令，不等式（3），即为（3），单调递增，又因为由上可知（3），故选：【点睛】本题主要考查不等式的解法：利用条件构造函数，利用函数单调性和导数之间的关系判断函数的单调性，属于中档题二、填空题13已知，则_【答案】【解析】由诱导公式以及二倍角的余弦公式求解即可.【详解】 故答案为：【点睛】本题主要考查了三角函数的知值求值问题，属于中档题.14已知函数，数列满足，则数列的前2019项和为_.【答案】【解析】由函数的解析式，求出数列的通项公式，将代入即可得到的值，再利用倒序相加法即可求出此数列前2019项的和【详解】依题意，函数，所以，数列满足，所以，.，设此数列前2019项的和，则有：，所以，即.故答案为：.【点睛】本题考查了数列的通项公式，倒序相加法求数列的前项和，考查分析解决问题的能力和计算能力，属于中档题15已知，则的最小值是_.【答案】4【解析】由，且，可知，进而可得的最小值【详解】因为，且，所以，所以，所以，当时.取得最小值4，故答案为：4.【点睛】本题主要考查基本不等式及其应用，属于中档题16如图，在四棱锥中，底面，若为棱上一点，满足，则_【答案】【解析】过作，交于，连接，根据，可得平面，通过解三角形求得的值，也即求得的值.【详解】过作，交于，连接，根据，可得平面，故，由于，所以.由于，所以.在直角三角形中，所以，而，故.根据前面证得，可得.【点睛】本小题主要考查空间点位置的确定，考查线面垂直的证明，考查简单的解特殊角三角形的知识.属于基础题.三、解答题17已知关于x的不等式（）的解集为.（1）求m的值；（2）若a，b，c均为正数，且，求的最小值.【答案】（1）（2）【解析】（1）题先解出绝对值不等式，然后将两个解集进行比较，可得出的值；（2）题在已知的情况下可构造表达式再运用柯西不等式即可得到最小值【详解】（1）解不等式，得.由已知解集为，故有，解得.（2）由（1），.当且仅当时，的最小值.【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，对应思想的应用，柯西不等式的运用能力，不等式的计算能力本题属中档题18已知中，角 所对的边分别为 ，且满足 .(1)求角的大小；(2)若的周长为，面积为，求三角形的三边长.【答案】（1）（2）【解析】(1)利用两角差的余弦公式以及正弦定理的边化角公式化简即可求解；(2)由三角形的面积公式得到，由余弦定理以及三角形的周长列式求解即可.【详解】(1)由正弦定理得： 化简得到：，即 (2)由(1)可知，即由余弦定理得又所以联立可得.【点睛】本题主要考查了正弦定理的边化角公式、三角形面积公式以及余弦定理，属于中档题.19直三棱柱（侧棱与底面垂直的棱柱）中，D为中点，F为线段的中点.（1）若M为中点，求证：面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】（1）证明取中点，连结，取中点，连结，说明四边形为平行四边形，然后证明四边形为平行四边形，推出，即可证明面；（2）在平面上过作垂直于的直线为轴，分别以，为，轴，建系，求出平面的法向量，平面的一个法向量，利用空间向量的数量积求解二面角的余弦函数值即可【详解】（1）证明：取中点N，连接，取中点E，连结，四边形为平行四边形，又，四边形为平行四边形，在面，面，面；（2）在平面上过作垂直于的直线为x轴，分别以，为y，z轴建系，设平面的法向量，取，.平面的一个法向量，设二面角的大小为，.【点睛】