第1章 集 合1.1集合的含义及其表示(一)自主学习1理解集合的概念，知道常用数集及其记法2了解“属于”关系的意义3理解集合元素的“三要素”1一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元2集合通常用大写拉丁字母A，B，C表示，用小写拉丁字母a，b，c，表示集合中的元素3如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作aA，读作“a属于A”，如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作aA或aA，读作“a不属于A”4集合中的元素具有确定性、互异性、无序性三种性质5实数集、有理数集、整数集、非负整数集、正整数集分别用字母R、Q、Z、N、N*或N来表示对点讲练集合的概念【例1】 考查下列每组对象能否构成一个集合：(1)著名的数学家；(2)某校2010年在校的所有高个子同学；(3)不超过20的非负数；(4)方程x290在实数范围内的解；(5)直角坐标平面内第一象限的一些点；(6)的近似值的全体解(1)“著名的数学家”无明确的标准，对于某个人是否“著名”无法客观地判断，因此“著名的数学家”不能构成一个集合；类似地，(2)也不能构成集合；(3)任给一个实数x，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“0x20”与“x20或x0”，两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合；类似地，(4)也能构成集合；(5)“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；(6)“的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数比如“2”是不是它的近似值，所以(6)不能构成集合规律方法判断指定的对象能不能构成集合，关键在于能否找到一个明确标准，对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素，同时还要注意集合中元素的互异性、无序性变式迁移1 下面有四个命题：(1)集合N中最小的数是零；(2)0是自然数；(3)1,2,3是不大于3的自然数组成的集合；(4)若aN，bN，则ab的最小值为2.其中正确的命题有_个答案2解析因为集合N中最小的数是零，故(1)(2)正确，(3)(4)错误故正确的命题有2个集合中元素的特性【例2】 已知集合A是由a2,2a25a,12三个元素组成的，且3A，求a.分析考查元素与集合的关系，体会分类讨论思想的应用解3A，则3a2或32a25a，a1或a.则当a1时，a23,2a25a3，不符合集合中元素的互异性，故a1应舍去当a时，a2，2a25a3，a.规律方法对于解决集合中元素含有参数的问题一定要全面思考，特别关注元素在集合中的互异性分类讨论的思想是中学数学中的一种重要的数学思想，我们一定要在以后的学习中熟练掌握变式迁移2 已知集合A是由0，m，m23m2三个元素组成的集合，且2A，求实数m的值解2A，m2或m23m22.若m2，则m23m20，不符合集合中元素的互异性，舍去若m23m22，求得m0或3.m0不合题意，舍去经验证m3符合题意，m的值为3.元素与集合的关系【例3】 若所有形如3ab(aZ，bZ)的数组成集合A，判断62是不是集合A中的元素分析解答本题首先要理解与的含义，然后要弄清所给集合是由一些怎样的数构成的，62能否化成此形式，进而去判断62是不是集合A中的元素解因为在3ab(aZ，bZ)中，令a2，b2，即可得到62，所以62是集合A中的元素规律方法判断一个元素是不是某个集合的元素，就是判断这个元素是否具有这个集合的元素的共同特征像此类题，主要看能否将所给对象的表达式转化为集合中元素所具有的形式变式迁移3 集合A是由形如mn(mZ，nZ)的数构成的，判断是不是集合A中的元素解221，而2,1Z，2A，即A.1充分利用集合中元素的三大特性是解决集合问题的基础2两集合中的元素相同则两集合就相同，与它们元素的排列顺序无关3解集合问题特别是涉及求字母的值或范围，把所得结果代入原题检验是不可缺少的步骤特别是互异性，最易被忽视，必须在学习中引起足够重视课时作业一、填空题1由下列对象组成的集体属于集合的是_(填序号)不超过的正整数；高一数学课本中所有的难题；中国的大城市；平方后等于自身的数；某校高一(2)班中考试成绩在500分以上的学生答案2下列四个说法中正确的个数是_集合N中最小数为1；若aN，则aN；若aN，bN，则ab的最小值为2；所有小的正数组成一个集合答案03用“”或“”填空(1)3_N；(2)3.14_Q；(3)_Z；(4)_R；(5)1_N*；(6)0_N.答案(1) (2)(3) (4)(5)(6)4集合A1,2,3,5，当xA时，若x1A，x1A，则称x为A的一个“孤立元素”，则A中孤立元素的个数为_答案1解析当x1时，x10A，x12A；当x2时，x11A，x13A；当x3时，x12A，x14A；当x5时，x14A，x16A；综上可知，A中只有一个孤立元素5.5已知x、y、z为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则M中元素的个数为_答案3解析分类讨论：x、y、z中三个为正，两个为正，一个为正，全为负，此时代数式的值分别为4,0,0，4，根据集合中元素的互异性知，M中的元素为4,0，4.6方程x22x10的解集中含有_个元素答案17已知集合S的三个元素a、b、c是ABC的三边长，那么ABC(填“能”或“不能”)_为等腰三角形答案不能解析由元素的互异性知a，b，c均不相等二、解答题8已知集合M2,3x23x4，x2x4，若2M，求x.解当3 x23x42时，即 x2x20，则x2或x1.经检验，x2，x1均不合题意当x2x42时，即x2x60，则x3或2.经检验，x3或x2均合题意x3或x2.9设P、Q为两个非空实数集合，P中含有0,2,5三个元素，Q中含有1,2,6三个元素，定义集合PQ中的元素是ab，其中aP，bQ，则PQ中元素的个数是多少？解当a0时，b依次取1,2,6，得ab的值分别为1,2,6；当a2时，b依次取1,2,6，得ab的值分别为3,4,8；当a5时，b依次取1,2,6，得ab的值分别为6,7,11.由集合元素的互异性知PQ中元素为1,2,3,4,6,7,8,11共8个10设A为实数集，且满足条件：若aA，则A (a1)求证：(1)若2A，则A中必还有另外两个元素；(2)集合A不可能是单元素集证明(1)若aA，则A.又2A，1A.1A，A.A，2A.A中另外两个元素为1，.(2)若A为单元素集，则a，即a2a10，方程无解a，A不可能为单元素集5用心 爱心 专心