用心 爱心 专心 高三数学第二章高三数学第二章 极限复习极限复习（理）人教版（理）人教版 【本讲教育信息本讲教育信息】 一. 教学内容： 第二章 极限复习 二. 教学重、难点： 最值连续函数在闭区间上的连续 求函数极限 函数极限的四则运算函数极限 数列极限的四则运算数列极限 极限 证明不等式 证明数列问题 证明几何问题 证明整除性问题 证明恒等式 教学归纳法 ; _ _ _ _ 【典型例题典型例题】 例 1 已知、的极限存在且满足：，求 n a n b8)52(lim nn n ba2)(lim nn n ba 。)23(lim nn n ba 解：解：设)()52(23 nnnnnn baybaxba nn byxayx)5()2( 解得， 25 32 yx yx 7 5 x 7 11 y 7 62 2 7 11 8 7 5 )23(lim nn n ba 例 2 设是一个三次函数，求的值。)(xf6 1 )( lim 1 x xf x 2 3 2 )( lim 2 x xf x 3 )( lim 3 x xf x 解：解：由题意知：)(2)(1()(axxxmxf 由，得 6 1 )( lim 1 x xf x 6)1(3ma 由，得 2 3 2 )( lim 2 x xf x 2 3 )2(3 am 联立得， 3a 2 1 m)3)(2)(1( 2 1 )(xxxxf 2)2)(1( 2 1 lim 3 )( lim 33 xx x xf xx 例 3 设分别求，的值。11)( 22 xxxxxf)(limxf x )(limxf x 存在吗？)(limxf x 解：解： 用心 爱心 专心 11)( 22 xxxxxf 11 11 22 22 xxxx xxxx 11 2 22 xxxx x 11 2 lim)(lim 22 xxxx x xf xx 11 2 lim 22 2 xxxx x x 1 11 2 11 1 11 1 2 lim 22 xxxx x 11 2 lim)(lim 22 2 xxxx x xf xx 22 11 1 11 1 2 lim xxxx x 1 11 2 不存在)(lim)(limxfxf xx )(limxf x 例 4 设，讨论的连续区间。 ) 1(3 ) 1( )( xx xx xf ) 1(12 ) 1( )( 3 xx xx xg)(xgf 解：解：当时， 1x1 3 x 3 )(xxgf 当时， 1x112x22) 12(3)(xxxgf 解析式为且， ) 1(22 ) 1( )( 3 xx xx xgf1)(lim 1 xgf x 4)(lim 1 xgf x 不存在 连续区间为)(lim 1 xgf x ), 1 () 1 ,( 例 5 用数学归纳法证明能够被 9 整除。17) 13( n n)( * Nn 解：解：（1）当时，被 9 整除1n27174 （2）假设时，能被 9 整除，则当时，) 1( kkn17) 13( k k1 kn 17)43(717 1) 1(3 1 kk kk17277187) 13( kkk kk )32(79 17) 13(kk kk 以上两项均能被 9 整除，故当时命题也成立1 kn 由（1）和（2）知，对任意命题成立 * Nn 例 6 已知数列中， （1）求的值；（2） n a 2 1 1 a nn anS 2 )( * Nn 432 ,aaa 推测的通项公式，并用数学归纳法证明所得结论。 n a 解：解：（1）， 2 1 1 a 2212 4aaaS 6 1 2 a 33213 9aaaaS 6 1 2 1 8 3 a 12 1 3 a 用心 爱心 专心 443214 16aaaaaS 12 9 15 4 a 20 1 4 a （2）由， 21 1 2 1 1 a 32 1 6 1 2 a 43 1 12 1 3 a 54 1 20 1 4 a 猜想，下面用数学归纳法证明 ) 1( 1 nn an 当时，结论成立1n 假设时，结论成立) 1( kkn 即且有 ) 1( 1 kk ak kk akaa 2 1 当时， 1 kn 1 2 121 ) 1( kkk akaaaa 1 2 1 2 ) 1( kkk akaak kk a k k a 1) 1( 2 2 1 ) 1( 1 1) 1( 2 2 kkk k ) 1()2( 2 kkkk k )2)(1( 1 kk 时，结论成立1 kn 由知，结论对都成立 * Nn 例 7 求 )1 ()1)(1)(1 (lim 242 n aaaa n ) 10( a 解：方法一：解：方法一： )1 ()1)(1)(1 ( 242 n aaaa 122 1 1 n aaa a a n 1 1 1 2 ) 10( a )1 ()1)(1)(1 (lim 242 n aaaa n aa a n n 1 1 1 1 lim 1 2 方法二：方法二：)1 ()1)(1)(1 (lim 242 n aaaa n a aaaaa n n 1 )1 ()1)(1)(1)(1 ( lim 242 aa a n n 1 1 1 1 lim 1 2 例 8 设数列满足， n a2 1 a n nn a aa 1 1 ), 3 , 2 , 1(n （1）证明：对一切正整数成立；12 nann （2）令判断与的大小，并说明理由。), 3 , 2 , 1(n n a b n nn b 1n b 证：证：（1） 当时， 成立1n1122 1 a 假设时，成立kn 12 kak 用心 爱心 专心 当时，1 kn1) 1(2 1 322 1 22 22 1 k a k a aa kk kk 时，成立1 kn1) 1(2 1 kak 由知，对一切正整数成立12 nan （2） 1) 12( ) 1(2 1 ) 12 1 1 ( 1 ) 1 1 ( 1 2 11 nn nn n n nn n ana na b b n n n n n 1 2 1 4 1 ) 2 1 ( 12 ) 1(2 2 n n n nn nn bb 1 【模拟试题模拟试题】 一. 选择题 1. （ ） n n n1 1 1 1 lim A. 1B. C. 0D. 2 1 1 2. 下列极限为 1 的是（ ） A. B. 9 9999 . 0 lim 个n n nn n )9999 . 0 () 1(lim C. D. 123 234 lim 2 2 nn nn n ) 11 (lim 2 n n e nn 3. 若展开式的第 3 项为 288，则的值是（ ） 9 )21 ( x ) 111 (lim 2n n xxx A. 2 B. 1 C. D. 2 1 5 2 4. 设在处连续，则的值为（ ） 2 2 2 2 4 23 )( 2 xa x xx x xf2xa A. B. C. D. 2 1 4 1 4 1 3 1 5. 的值是（ ） n n nnn n CCC 41 lim 2 2 1 2 0 2 A. 0 B. C. D. 4 1 2 1 1 6. 的值是（ ） x x n 3 2 cos1 sin2 lim A. B. 3 C. D. 21 3 4 用心 爱心 专心 7. （ ） 11 ) 12(4321 lim 22 nn n n A. B. 3 C. D. 2 1 3 1 4 1 8. 下列各函数中，在处不连续的是（ ）1x A. B. 2 cos1 )( x x xf 13 1 1 1 )( 3 x x x x xf C. D. 11 11) 1( )( 0 x xx xf) 2 cot()( xxf 二. 解答题： 1. 已知等差数列前三项为，前项和为， （1）求及的值；aa3 , 4 ,n n S2550 k Sak （2）求。) 111 (lim 21 n n SSS 2. 设函数；在处是否有极限？ )0(lg )0(0 )0(2 )( xx x x xf x )(xf0x 3. 已知数列满足，。 n a1 0 a) 1 0 , ( 1 * 1 PNnaPa nn （1）求证：（）0 1 n a P * Nn （2）求，猜想通项公式，并用数学归纳法证明。 321 aaa、 n a 用心 爱心 专心 【试题答案试题答案】 一. 1. B 2. A 3. A 4. C 5. D 6. C 7. A 8. C 二. 1. 解： （1）由已知：，及，所以，所aa 1 4 2 aaa3 3 231 2aaa423 aa 以，公差。2a224 12 aad 由，得，所以，d kk akSk 2 ) 1( 1 25502 2 ) 1( 2 kk k02550 2 kk 解得或（舍去） ，所以。k5051k50, 2ka （2）由，得，d nn naSn 2 ) 1( 1 ) 1( nnSn 所以 ) 1( 1 32 1 21 1111 21 nnSSS n 1 1 1)