第三章导数及其应用知识建构综合应用专题一导数的概念及其几何意义1用定义求导数的一般步骤：(1)求函数的改变量yf(xx)f(x)；(2)求平均变化率；(3)取极限，得f(x) .2导数的几何意义：由于函数yf(x)在点x0处的导数f(x0)，就是曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率，其切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)因此关于曲线的切线问题可尝试用导数的方法解决应用1 已知f(x)在xx0处可导，则()Af(x0) Bf(x0)Cf(x0)2 D2f(x0)f(x0)提示：对所给式子进行变形，用导数的定义解题应用2 设f(x)为可导函数，且满足条件1，求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线的斜率提示：根据导数的几何意义及已知条件可知，欲求yf(x)在点(1，f(1)处的切线的斜率，即求f(1)注意到所给条件的形式与导数的定义中f(x)的比较，由已知的极限式变形可求得f(1)专题二用导数求函数的单调区间、极值、最值1求函数单调区间的步骤：(1)确定f(x)的定义域；(2)计算导数f(x)；(3)求出f(x)0的根；(4)用f(x)0的根将定义域分成若干区间，判断f(x)在各区间内的符号，进而确定f(x)的单调区间2求函数极值的步骤：(1)求导数f(x)；(2)求f(x)0或f(x)不存在的所有点；(3)检查上面求出的x的两侧导数的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个点处取得极大值，如果左负右正，那么f(x)在这个点处取得极小值3求函数最值的步骤：(1)求函数f(x)在a，b上的极值；(2)极值与f(a)，f(b)相比较，最大的为最大值，最小的为最小值应用 (2010重庆高考)已知函数f(x)ax3x2bx(其中常数a，bR)，g(x)f(x)f(x)是奇函数(1)求f(x)的表达式；(2)讨论g(x)的单调性，并求g(x)在区间1,2上的最大值与最小值提示：由函数f(x)ax3x2bx(其中常数a，bR)，g(x)f(x)f(x)是奇函数，可求得a，b.然后按照求最值的步骤求其最大值与最小值专题三利用求导法证明不等式、求参数范围等1在用求导法证明不等式时，首先要构造函数和确定定义域，其次运用求导的方法来证明2一些求题中参数取值范围的问题，常转化为恒成立问题来解决利用f(x)a恒成立f(x)maxa和f(x)a恒成立f(x)mina的思想解题3解极值应用的问题一般分三个步骤：(1)建立函数关系式；(2)求所列函数关系式中可能取得极值的点；(3)具体作出判断，得出结果其中关键在于建立函数关系式，若所求函数只有一个极值点，一般就是要求的最大值(或最小值)点应用1 求证：ln x(x1)2(1x)3.提示：可利用构造函数求极值的方法予以证明，同时要注意到题中x0这一隐含条件应用2 已知在函数f(x)mx3x的图象上，以N(1，n)为切点的切线的倾斜角为.(1)求m，n的值(2)是否存在最小的正整数k，使得不等式f(x)k1 996对于x1,3恒成立？如果存在，请求出最小的正整数k；如果不存在，请说明理由提示：(1)切线的倾斜角为切线的斜率为1，即函数f(x)mx3x在N(1，n)的导数为1，从而求出m，进而求出n.(2)不等式f(x)k1 996对于x1,3恒成立f(x)最大值k1 996，解不等式即可求得k.真题放送1(2010辽宁高考，理10)已知点P在曲线y上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是()A BC D2(2011湖南高考，文7)曲线y在点M处的切线的斜率为()A B C D3(2011福建高考，文10)若a0，b0，且函数f(x)4x3ax22bx2在x1处有极值，则ab的最大值等于()A2 B3 C6 D94(2011浙江高考，文10)设函数f(x)ax2bxc(a，b，cR)，若x1为函数f(x)ex的一个极值点，则下列图象不可能为yf(x)的图象是()5(2011辽宁高考，文11)函数f(x)的定义域为R，f(1)2，对任意xR，f(x)2，则f(x)2x4的解集为()A(1,1) B(1，)C(，1) D(，)6(2010辽宁高考，文21)已知函数f(x)(a1)ln xax21.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)设a2，证明对任意x1，x2(0，)，|f(x1)f(x2)|4|x1x2|.7(2010全国卷，文21)已知函数f(x)x33ax23x1.(1)设a2，求f(x)的单调区间；(2)设f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点，求a的取值范围8(2010天津高考，文20)已知函数f(x)ax3x21(xR)，其中a0.(1)若a1，求曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程；(2)若在区间上，f(x)0恒成立，求a的取值范围答案：综合应用专题一应用1：Df(x0)，f(x)f(x0)f(x0)f(x0)f(x0)2f(x0)f(x0)应用2：解：f(x)为可导函数，且1，1， 2，即f(1)2.yf(x)在点(1，f(1)处的切线的斜率为2.专题二应用：解：(1)f(x)ax3x2bx，f(x)3ax22xb.故g(x)f(x)f(x)ax3(3a1)x2(b2)xb.g(x)是奇函数，g(x)g(x)，即对任意实数x，有a(x)3(3a1)(x)2(b2)(x)bax3(3a1)x2(b2)xb，则有3a10，b0，解得a，b0.故f(x)x3x2.(2)由(1)知g(x)x32x，g(x)x22.令g(x)0，解得x1，x2，则当x或x时，g(x)0，从而g(x)在区间(，)上是减函数；当x时，g(x)0，从而g(x)在区间(，)上是增函数由前面讨论知，g(x)在区间1,2上的最大值与最小值只能在x1，2时取得，而g(1)，g()，g(2)，因此g(x)在区间1,2上的最大值为g()，最小值为g(2).专题三应用1：证明：设f(x)ln x(x1)2(x1)3(x0)，f(x)(x1)2(x1)2(x1)(x1)(x1)2(x1)3.令f(x)0，解得x11，x2.又x0且在x1附近f(x)由负到正，当x1时，f(x)有极小值，这里也是最小值当x0时，f(x)f(1)1.即得证应用2：解：(1)依题意，得f(1)tan，即3m11，m.因为f(1)n，所以n.(2)令f(x)2x210，得x.当1x时，f(x)2x210，此时f(x)为增函数；当x时，f(x)2x210，此时f(x)为减函数；当x3时，f(x)2x210，此时f(x)为增函数；又f，f(3)15，因此，当x1,3时，f(x)max15.要使得不等式f(x)k1 996对于x1,3恒成立，则k151 9962 011.所以，存在最小的正整数k2 011使得不等式f(x)k1 996对于x1,3恒成立真题放送1Dy，ex2，1y0，即1tan 0，.2By，所以y|x.3D由题意得f(x)12x22ax2b.函数f(x)在x1处有极值，f(1)0.122a2b0，即ab6.又a0，b0，由基本不等式得ab2，即ab229，故ab的最大值是9.4D令g(x)f(x)ex，则g(x)f(x)exf(x)ex，x1为函数g(x)的一个极值点，g(1)f(1)e1f(1)e10.f(1)f(1)D选项中，f(1)0，f(1)f(1)0，这与图象不符5B由题意，令(x)f(x)2x4，则(x)f(x)20.(x)在R上是增函数又(1)f(1)2(1)40，当x1时，(x)(1)0，即f(x)2x40，即f(x)2x4.故选B.6分析：(1)利用导数在某个区间上的符号讨论函数的增减性；(2)利用等价转化的方法解决解：(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)2ax.当a0时，f(x)0，故f(x)在(0，)上单调递增；当a1时，f(x)0，故f(x)在(0，)上单调递减；当1a0时，令f(x)0，解得x.当x时，f(x)0；x时，f(x)0，故f(x)在上单调递增，在上单调递减(2)不妨假设x1x2.由于a2，故f(x)在(0，)上单调递减所以|f(x1)f(x2)|4|x1x2|等价于f(x2)f(x1)4x14x2，即f(x2)4x2f(x1)4x1.令g(x)f(x)4x，则g(x)2ax4.于是g(x)0.从而g(x)在(0，)上单调递减，故g(x1)g(x2)，即f(x1)4x1f(x2)4x2，故对任意x1，x2(0，)，|f(x1)f(x2)|4|x1x2|.7分析：本题考查了导数在函数性质中的应用，主要考查了用导数研究函数的单调区间、极值及函数与方程的知识(1)求出函数的导数，由导数大于0，可求得单调递增区间，由导数小于0，可求得单调递减区间(2)求出函数的导数f(x)，在(2,3)内有极值，即为f(x)在(2,3)内有一个零点，即可根据f(2)f(3)0求出a的取值范围解：(1)当a2时，f(x)x36x23x1，f(x)3(x2)(x2)当x(，2)时，f(x)0，f(x)在(，2)上单调递增；当x(2，2)时，f(x)0，f(x)在(2，2)上单调递减；当x(2，)时，f(x)0，f(x)在(2，)上单调递增综上，f(x)的单调递增区间是(，2)和(2，)，f(x)的单调递减区间是(2，2)(2)f(x)3(xa)21a2当1a2