高中数学第三章基本初等函数（）本章概览素材新人教B版必修1第三章 基本初等函数()知识建构专题应用专题一指数函数、对数函数、幂函数的图象和性质的应用指数函数、对数函数、幂函数是中学数学中重要的基本初等函数它们的图象与性质始终是高考考查的重点由于指数函数yax(a0，且a1)，对数函数ylogax(a0，且a1)的图象与性质都与a的取值有密切的联系，幂函数yx的图象与性质与的取值有关，a、变化时，函数的图象与性质也随之改变；因此，在a，的值不确定时，要对它们进行分类讨论，利用图象可以很快捷、直观地进行比较大小、求根等计算问题应用1若0a2b2c21，则()A0abc1Babc1C0bac1D0bca1提示：首先通过构造思想把问题转化为指数函数问题，再结合指数函数的图象与性质求解应用2方程log3xx3的解所在的区间是()A(0,1) B(1,2)C(2,3) D(3，)提示：作出ylog3x与yx3的图象，观察其交点的横坐标即可专题二分类讨论思想的应用分类讨论思想即对问题中的参数由于不能一概而论，因此需要按一定的标准进行分别阐述，在分类讨论中要做到“不重复，不遗漏”应用1若1loga1，求a的取值范围提示：将对数不等式统一成同底的形式，再利用分类讨论思想及函数的单调性进行转化求解应用2设函数f(x)2|x1|x1|，求使f(x)2成立的x的取值范围提示：按零点分类讨论法即把整个实数集R以1为临界分成(，1，(1,1)，1，)三段讨论专题三等价转化在讨论函数问题中的应用转化思想即在处理问题时，通过某种转化过程，归结为一类已经解决或比较容易解决的问题，最终求得原问题的解转化思想应用非常普遍，如未知向已知转化，新知识向旧知识转化，复杂问题向简单问题转化，不同数学问题之间的相互转化，实际问题向数学问题转化等应用1指出函数f(x)的单调区间，并比较f()与f的大小提示：可考虑把函数f(x)转化为我们学过的幂函数的问题，然后考虑相关幂函数的性质，进一步比较大小应用2已知是方程2xx3的一个根，是方程log2xx3的一个根，求证：3.提示：若f(x)是单调函数，则f(x1)f(x2)x1x2.类似地，可证得如下一般性结论：若函数f(x)在R上单调递增，是方程f(x)xm的一个根，是方程f1(x)xm的一个根，则m.专题四函数图象的平移、对称变换图象变换题因其集数形结合的数学思想、运动变化的观点于一体，又考查了函数图象的画法和相关函数的性质，对于知识的内化、数学能力的提升均起到促进的作用，故在教材乃至高考试题中均占有重要的一席之地，不容小视下面总结一些常见的图象变换规律，供同学们参考1图象的平移变换(1)水平平移：函数yf(xa)(a0)的图象，可由yf(x)的图象向左()或向右()平移a个单位而得到如：将对数函数ylog2x的图象向左平移2个单位，便得到函数ylog2(x2)的图象(2)竖直平移：函数yf(x)b(b0)的图象，可由yf(x)的图象向上()或向下()平移b个单位而得到如：将指数函数yx3的图象向下平移1个单位，便得到函数yx31的图象2图象的对称变换(1)yf(x)与yf(x)的图象关于y轴对称(2)yf(x)与yf(x)的图象关于x轴对称(3)yf(x)与yf(x)的图象关于原点对称(4)yf1(x)与yf(x)的图象关于直线yx对称如：对数函数ylog2x的图象与指数函数y2x的图象关于直线yx对称(5)yf(|x|)的图象可将yf(x)(x0)的部分作出，再利用偶函数的图象关于y轴对称，作出x0的图象如：先画出(x0)的图象C1，再作出C1关于y轴对称的图形C2，C1和C2构成函数的图象(6)y|f(x)|的图象可保留yf(x)(y0)的部分，再将yf(x)(y0)的部分沿着x轴从下方对称地翻折到上方应用1求作函数ylog4(x22x1)的图象提示：先要找出这个函数所对应的基本初等函数，然后再利用变换向目标靠拢应用2(1)画出函数ylog2(x2)与ylog2(x2)的图象，并指出两个图象之间的关系；(2)画出函数ylog2|x|的图象，并根据图象指出它的单调区间提示：画函数图象是研究函数变化规律的重要手段，可利用ylog2x的图象进行变换真题放送1(2011辽宁高考)设函数f(x)则满足f(x)2的x的取值范围是()A1,2 B0,2C1，) D0，)2(2010四川高考)函数ylog2x的图象大致是()3(2010湖北高考)函数y的定义域为()A BC(1，) D(1，)4(2010重庆高考)函数y的值域是()A0，) B0,4C0,4) D(0,4)5(2010天津高考)设alog54，b(log53)2，clog45，则()Aacb BbcaCabc Dbac6(2010安徽高考)设，则a，b，c的大小关系是()Aacb BabcCcab Dbca7(2010湖北高考)已知函数f(x)则f()A4 BC4 D8(2010陕西高考)下列四类函数中，具有性质“对任意的x0，y0，函数f(x)满足f(xy)f(x)f(y)”的是()A幂函数 B对数函数C指数函数 D二次函数9(2010湖南高考)函数yax2bx与(ab0，|a|b|)在同一直角坐标系中的图象可能是()10(2010山东高考)设f(x)为定义在R上的奇函数当x0时，f(x)2x2xb(b为常数)，则f(1)等于()A3 B1 C1 D311(2010课标全国卷)设偶函数f(x)满足f(x)2x4(x0)，则x|f(x2)0等于()Ax|x2，或x4 Bx|x0，或x4Cx|x0，或x6 Dx|x2，或x2答案：专题应用专题一应用1：A将a2，b2，c2分别看作指数函数C1：yax，C2：ybx，C3：ycx当x2时的函数值，由函数值小于1，得0a，b，c1，在同一坐标系下作出C1，C2，C3的图象，如图，作直线x1，与C1，C2，C3的交点纵坐标分别为a，b，c，易知0abc1.应用2：C设y1=log3x，y2=x+3，在同一坐标系中画出它们的图象如图，观察可排除选项A，D.其交点P的横坐标应在区间(1,3)内又x=2时，y1=log321，而y2=2+3=1，且知y1是增函数，y2是减函数，所以交点P的横坐标应在区间(2,3)内专题二应用1：解：1loga1loga1loga1logaa，当a1时，ylogax为增函数，有a.a，结合a1，故a.当0a1时，ylogax为减函数，有a.a，结合0a1，故0a.a的取值范围是a|0a，或a应用2：解：由于y2x在R上是增函数，f(x)2等价于|x1|x1|.当x1时，|x1|x1|2，式恒成立；当1x1时，|x1|x1|2x，式化为2x，解得x1；当x1时，|x1|x1|2，式无解综上，x的取值范围是.专题三应用1：解：f(x)11(x2)2，其图象可由幂函数yx2的图象向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到，如图所示，该函数在(2，)上是减函数，在(，2)上是增函数，且其图象关于直线x2对称又2()2(2)2，f()f.应用2：证明：构造函数f(x)x2x，则易知f(x)在R上单调递增，又由题设，得f()23，f(log2)log2log23，所以f()f(log2)于是必有log2，从而log23.专题四应用1：解：先对函数解析式进行化简，可得ylog2|x1|.可直接利用描点法作出ylog2x的图象，而后作其关于y轴的对称变换得到ylog2|x|，再把其向右平移一个单位过程如下：应用2：解：(1)函数ylog2x的图象如果向右平移2个单位就得到ylog2(x2)的图象；如果向左平移2个单位就得到ylog2(x2)的图象，把ylog2(x2)的图象向右平移4个单位得到ylog2(x2)的图象(如图所示)(2)当x0时，函数ylog2|x|满足f(x)log2|x|log2|x|f(x)，所以ylog2|x|是偶函数，它的图象关于y轴对称当x0时，ylog2x.因此先画出ylog2x(x0)的图象为C1，再作出C1关于y轴对称的图象C2，C1与C2构成函数ylog2|x|的图象，如图所示由图象可以知道函数ylog2|x|的单调减区间是(，0)，单调增区间是(0，)真题放送1D易知，f(x)在R上为减函数，由21x2，得x0，所以x的取值范围是0，)2C21，所以由对数函数知识知选C.3A要使解析式有意义，则log0.5(4x3)0，04x31.x1.4C4x0，4x0.0164x16.0y4.5D0log53log541，log451，bac.6A构造指数函数yx(xR)，由该函数在定义域内单调递减，所以bc；又yx(xR)与yx(xR)之间有如下结论成立：当x0时，有xx，故，ac，故acb.7Bfff(2)22.8C若f(x)ax(a0，且a1)，则axyaxay，即f(xy)f(x)f(y)符合题目要求，所以选C.9D对于选项A，B，|1，而yax2bx的两根之和(0,1)，矛盾故排除选项A和B.对于选项C，|1，而yax2bx的两根之和1，故1，矛盾故排除选项C.10Df(x)为奇函数，f(0)0.b1.f(1)f(1)(21211)3.11Bf(x)f(x2)令f(x2)0，解得x4或x0.碳14测年法利用宇宙射线产生的放射性同位素碳14来测定含碳物质的年龄，就叫碳14测年法