3.2.3 直线与平面的夹角3.2.4 二面角及其度量自我小测1在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E为CC1的中点，则直线A1B与平面BDE所成的角为()A. B. C. D.2已知ABCD是正方形，E是AB的中点，将DAE和CBE分别沿DE，CE折起，使AE与BE重合，A，B两点重合后记为点P，那么二面角PCDE的大小为()A30 B45 C60 D903在三棱锥PABC中，ABBC，ABBCPA，点O，D分别是AC，PC的中点，OP底面ABC，则直线OD与平面PBC所成角的正弦值为()A. B.C. D.4AB平面于B，BC为AC在内的射影，CD在内，若ACD60，BCD45，则AC和平面所成的角为()A90 B60 C45 D305二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB4，AC6，BD8，CD2，则该二面角的大小为()A150 B45 C60 D1206AB，AA， A是垂足，BB是的一条斜线段，B为斜足，若AA9，BB6，则直线BB与平面所成角的大小为_7如图所示，将边长为a的正三角形ABC沿BC边上的高线AD将ABC折起，若折起后B，C间距离为，则二面角BADC的大小为_8等腰直角ABC的斜边AB在平面内，若AC与成30角，则斜边上的中线CM与平面所成的角为_9如图所示，ABCD是直角梯形，ABC90，SA平面ABCD，SAABBC1，AD，求SC与平面ABCD所成的角10如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为平行四边形，DAB60，AB2AD，PD底面ABCD.(1)证明：PABD；(2)设PDAD，求二面角APBC的余弦值11正方体ABCDABCD的棱长等于2，E，F分别是BD，AC的中点求：(1)直线AB和平面ACD所成角的正弦值；(2)二面角BCDA的余弦值参考答案1解析：以D为原点建立空间直角坐标系，如图，可得平面BDE的法向量n(1，1,2)，而(0，1,1)，cos，n，n30.直线A1B与平面BDE成60角答案：B2答案：A3解析：以O为原点，射线OA，OB，OP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，设ABa，则OPa，可求得平面PBC的法向量为n，cos，n，设与平面PBC所成的角为，则sin ，故选D.答案：D4解析：设AC和平面所成的角为，则cos 60cos cos 45，故cos ，所以45.答案：C5解析：由条件知，0，0，.|2|2|2|2222624282268cos，(2)2，cos，即，120，二面角的大小为60，故选C.答案：C6答案：607答案：608答案：459解：是平面ABCD的法向量，设与的夹角为.，()1.|1，|，cos .arccos.从而CS与平面ABCD所成的角为arccos.10(1)证明：因为DAB60，AB2AD，由余弦定理得BDAD.从而BD2AD2AB2，故BDAD.又PD底面ABCD，可得BDPD，所以BD平面PAD.故PABD.(2)解：如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz.则A(1,0,0)，B(0，0)，C(1，0)，P(0,0,1)(1，0)，(0，1)，(1,0,0)设平面PAB的法向量为n(x，y，z)，则即因此可取n(，1，)设平面PBC的法向量为m，则可取m(0，1，)，cosm，n.故二面角A PB C的余弦值为.11解：如图建立空间直角坐标系Dxyz，正方体的棱长等于2，E，F分别是BD，AC的中点，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，D(0,0,2)，B(2,2,2)，E(1,1,2)，F(1,1,0)(1)(2,0,2)，(2,2,0)，(0,2,2)，设n(x，y，z)是平面ACD的一个法向量，则由取x1，得平面ACD的一个法向量n(1,1,1)，设直线AB和平面ACD所成角的大小为，则sin ，直线AB和平面ACD所成角的正弦值是.(2)(2,2,0)，(0,2，2)，设m(x0，y0，z0)是平面BCD的一个法向量，则由得取y01得平面BCD的一个法向量m(1,1,1)，由cos ，故二面角BCDA的余弦值是.6