,3 一般项级数,一 对交错级数,定理12.11,若交错级数,满足条件：,（1）,(2),则该级数收敛，,且其和,定理12.11(莱布尼茨判别法),若交错级数,满足条件：,（1）,(2),则该级数收敛，,且其和,证:,设级数的部分和数列为,则,注意到各括号均为非负的,故,为单调减,为单调增,且,即,为区间套,由区间套定理,存在唯一S,使得,故,收敛,即该级数收敛.,定理3,若交错级数,满足条件：,（1）,（2）,则该级数收敛，,且其和,例6,判定下列级数的敛散性,解：,为交错级数.,显然,所以,该级数收敛.,定理3,若交错级数,满足条件：,（1）,（2）,则该级数收敛，,且其和,例6,判定下列级数的敛散性:,解:,为交错级数.,显然,故该级数收敛.,二 绝对收敛与条件收敛,若,收敛,则称,绝对收敛.,若,收敛,而,发散,则称,条件收敛.,关系及有关判别法,定理4,若,收敛,则,收敛.,(绝对收敛则收敛),定理5,设,为任意项级数,若,则,(1),当,时,该级数绝对收敛.,(2),当,时,该级数发散.,例7,判定下列级数的敛散性:,(1),(2),(3),解:,(1),发散.,发散.,收敛.,条件收敛.,(2),而,收敛.,故,绝对收敛.,例7,判定下列级数的敛散性:,(1),(2),(3),解:,(3),A.,当,时,该级数绝对收敛.,B.,当,时,该级数发散.,C.,当,时,该级数发散.,D.,当,时,该级数条件收敛.,1.级数重排,自然数列1，2，n，到它自身的映射：,称作自然数据的重排。数列,称作原数列,的重排。将,，则可将重排后的级数写作：,定理12.13,绝对收敛,且其和为S,则任意重排后所得的级数,也绝对收敛,并且有相同的和(相当于加法的交换律).,设级数,2. 级数的乘积,乘积可能的项为,设,定理12.14 若级数,按任意顺序所得的级数,也绝对收敛,且其和等于AB.,都绝对收敛, 且其和分别为A,B,则对表中所有的乘积,三 阿贝耳判别法与狄利克雷判别法,用于级数,的敛散性的判别.,引理(分部求和公式，也称为阿贝耳变换),设,为两组实数，若令,则有如下分部求和公式成立,证：,分别乘以,整理后就得所要证的公式,以,引理(分部求和公式，也称为阿贝耳变换),设,为两组实数，若令,则有如下分部求和公式成立,证：,分别乘以,整理后就得所要证的公式,以,推论(阿贝耳引理) 若,是单调数组；,则记,时，有,（ii）对任一自然数,推论(阿贝耳引理) 若,是单调数组；,则记,时，有,（ii）对任一自然数,证：由（i）知道,都是同号的,于是由分部求和公式及条件(ii)推得,三 阿贝耳判别法与狄利克雷判别法,用于级数,的敛散性的判别.,1.阿贝尔判别法:,定理12.15 若,为单调有界数列，,收敛，则级数(A)收敛,且级数,(A),证 由于级数,收敛，依柯西准则，对任给正数,存在正数N，使得当nN时及任一自然数p，都有,又由于数列,有界，所以存在M0，使得,应用阿贝尔引理结果可得到,由级的柯西收敛准则知该级数收敛,1.阿贝尔判别法:,定理12.15 若,为单调有界数列，,收敛，则级数(A)收敛,且级数,例,判断下列级数的敛散性:,若级数,收敛 ,2.狄利克雷判别法,单调递减，且,又级数,的部分和有界，则级数（A）收敛.,定理12.16 若数列,例 若数列,具有性质：,讨论级数,的敛散性.,单调递减，且,又级数,的部分和有界，则级数（A）收敛.,定理12.16 若数列,例 若数列,具有性质：,讨论级数,的敛散性.,解 因为,当,时，,故,所以，当,时，,有界，由狄利克雷判别法得级数,收敛.,收敛。,同理可证：,