暑期特训：实数实数（一）二. 重点、难点：1. 了解平方根，算术平方根，立方根的概念，会用根号表示某些数的平方根，算术平方根，立方根2. 会求某些非负数的平方根及某些数的立方根3. 了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应4. 能用有理数估计一个无理数的大致范围三. 教学过程（一）知识要点1. 算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即xa，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，记为“”，读作“根号a”，我们规定0的算术平方根是0，即0。2. 平方根的定义：一般地，如果一个数的平方等于a， 即xa，那么这个数x就叫做a的平方根，记为“”，读作“正负根号a”。3. 平方根的特性：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0，负数没有平方根.4. 开平方：求一个非负数a的平方根的运算叫做开平方，其中a叫做被开方数重要提示1. 算术平方根具有双重非负性；（1）被开方数是非负数，即a0；（2）算术平方根的本身是非负数，即a0。2. 平方根与算术平方根的区别与联系：区别：（1）定义不同：“如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根”；“非负数a的非负平方根叫做a的算术平方根”；（2）个数不同：一个正数的平方根有两个，它们互为相反数；而一个正数的算术平方根只有一个，且也是正数；（3）表示方法不同；正数a的平方根为；正数a的算术平方根为，特别注意：。联系：（1）平方根中包含了算术平方根，算术平方根是平方根中的一个；（2）平方根和算术平方根都只有非负数才有；（3）0的平方根和0的算术平方根是其本身。典型例题例1. 下列各数有没有平方根?如果有的话，求出它的平方根和算术平方根，如果没有的话，请说明理由。（1）64 （2）0.49 （3） （5） （4）3 （5） 0 （6）2 （7） 分析：（1）要判断一个数有没有平方根，就要看它是不是负数，若是负数就没有平方根，不是负数就有平方根； （2）“平方与开方是互逆运算”是解这些题的关键解：（1）因为640，所以64有平方根，因为（）64，所以64的平方根是8，即，64的算术平方根是8，即8。（2）因为0.490，所以0.49有平方根；因为（0.7）0.49，所以0.49的平方根是0.7，即0.7，0.49的算术平方根是0.7，即0.7。（3）因为（5）250，所以（5）的平方根是5，即5， （5）的算术平方根是5，即5。（4）因为390，所以有平方根，因为3的平方根是，所以的平方根是，的算术平方根是。反思：（1）求一个数的平方根时，应注意它的平方根通常用的形式来描述，不可粗心大意而丢掉“”号，它正是平方根与算术平方根的区别所在。（2）当带分数开平方时，要先把带分数化成假分数，然后再开平方，如第（7）题；当一个正数的算术平方根开平方时，要特别注意先求出3，再求出3的平方根是。例2. （1）如图所示，小明想剪一块面积为25cm的正方形纸板，你能帮他求出正方形板的边长吗？（2）若小明想将两块边长都为3cm 的正方形纸板沿对角线剪开，拼成如下图所示的一个大正方形，你能帮他求出这个大正方形的面积吗？它的边长是整数吗？若不是整数，那么请你估计这个边长的值在哪两个整数之间? 解：（1）由于正方形的面积公式为：Sa，而（5）25，所以a5或5，但a是边长，故a5舍去，所以a5.所以这个正方形的边长是5cm。 （2）由图示可知，大正方形纸板的面积是由两个小正方形纸板剪凑而成，因此大正方形面积3+318（cm），大正方形的边长是cm（舍去）。显然不是整数。由于416，所以4；而525，所以5，因此可以估计，即在整数4与5之间。反思：从本例的研究中我们可以得到启示：（1）由于正方形的边长不能是负数，因此，已知正方形面积求边长，要用它的算术平方根，而不是平方根；（2）问题2中，大正方形的面积（即两个小正方形的面积之和）是客观存在的，但表示大正方形边长的数，既不是整数，也不能化成分数，那它又是一个什么数呢?（二）知识要点1. 实数的意义：有理数和无理数统称为实数2. 实数的分类（1）按定义分类：实数（2）按大小分类：实数3. 在实数范围内，相反数，倒数，绝对值的意义和有理数范围内的相反数，倒数，绝对值的意义完全一样。4. 实数与数轴上的点是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。重要提示1. 无理数的常见类型有：（1）所有开方开不尽的数都是无理数：如，等。（2）圆周率及一些含有的数都是无理数，如/2，2+1等。（3）像似循环，但不循环的无限小数是无理数，如0.1010010001（两个1之间依次多一个0），0.232232223（两个3之间依次多一个2）等。2. 有理数大小的比较法则，利用数轴比较有理数的大小方法仍适用于实数大小的比较。典型例题例1. 把下列各数填入相应的集合里0，3.1415926，2，0.12，1.212121，0.2020020002（两个2之间依次多1 个零）自然数集合 有理数集合 正数集合 整数集合 无理数集合 分数集合 分析：对实数进行分类时，应先对某些数进行计算并化简，然后根据最后结果进行分类。解：因为1，所以自然数集合0， ，有理数集合0，2，3.1415926，1.212121正数集合，3.1415926，1.212121，/4，0.2020020002（两个2之间依次多1个零） 整数集合0，2，无理数集合，0.202002（每两个2之间依次多1个零） 分数集合3.1415926，1.212121反思：本题的易错点是把1.212121，当成无理数，把当成分数，解题关键在于认真审视各个数据，严格按照各自定义去予以判断。例2. 某位老师在讲“实数”时，画了如图所示的图形，即“以数轴的单位长线段为边作一个正方形，然后以O为圆心，正方形的对角线长为半径画弧交数轴原点右侧于一点A，作这样的图是用来说明 分析：根据图得到边长为1的正方形的对角线长为，即OC，而是一个无理数，又OAOC，A所代表的是数，这说明数轴上的点可以表示无理数。解：“无理数可以在数轴上表示出来”或“数轴上的点也可以表示无理数”等。反思：本题只要涉及到“无理数和数轴上的点能对应”均为正确答案。例3. 下列说法中正确的个数是（ ）两个无理数的和必是无理数；两个无理数的积必是无理数；有理数与无理数分别平方后，不可能相等；无理数就是平方开不尽的数；有理数的倒数一定是有理数。A. 2个 B. 1个 C. 3个 D. 4个解：错误，如+（）0为有理数。 错误，如（3）6为有理数。 正确，因为有理数与无理数不相等，所以平方后也不相等。 错误，如。 错误，如0是有理数，但它不存在倒数。 故本题选B反思：判断一个说法正确，要有充分的根据，而判断一个说法不正确，也要有根据或举出反例。（三）知识要点1. 立方根：一般地，如果一个数x的立方等于a，即xa，那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做a的三次方根）。求一个数的立方根的运算叫做开立方，其中a是被开方数。 2. 立方根的表示法：如果xa，那么x，其中a是被开方数，3是根指数。 3. 立方根的特性：正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根是0。重要提示1. 平方根与立方根的区别平方根立方根表示方法a的取值aa为任意实数特性正数的平方根有两个0的平方根是0，负数没有平方根正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数2. 立方根是本身的数有和03. 的根指数不能省略，要写在根号的左上角。典型例题例1. 判断题 （1）有理数一定有立方根 （ ） （2）27的立方根是3 （ ） （3）一个数的立方根总比这个数的平方根小 （ ） （4）若x的立方根是它本身，则x的值是1或0 （ ）分析：由正数的立方根是正数，零的立方根是零，负数的立方根是负数可以判断结果。解：（1）正确，任何数都有立方根 （2）错误，27的立方根是3（3）错误，零的立方根是零，零的平方根也是零（4）正确，立方根是本身的数只有和0 （ ）反思：1. 当a，a的平方根为，而a的立方根不是，应为2. 当a0时，a没有平方根，而有立方根为。例2. 求下列各数的立方根（1）0 （2）343（3）0.729（4）1 （5）2解：（1）因为030，所以0的立方根是0，即0； （2）因为（7）3343，所以343的立方根是7，即7； （3）因为（0.9）30.729，所以0.729的立方根是0.9，即0.9； （4）因为1，且（）3，所以1的立方根是，即；（5）因为2，且（）3，所以2的立方根是，即。反思：1. 求一个数的立方根时，应注意其结果的唯一性，不要与平方根相混淆，出现8的立方根为2的错误结论。 2. 当求一个负数的立方根时，不漏掉其结果前面的负号，如（2）、（3）、（5）；和求平方根一样，当被开方数是带分数时，应先将带分数化为假分数再求解。例3. 求满足方程：（x3）3+1913的x的值。分析：此题只需按解方程的步骤进行解答即可。解：由（x3）3+1913 得（x3）332 （x3）364 x3 x4+3 x1一、选择题1、下列各式正确的是（ ）A、5 B、5C、5D、52、若一个数的平方根是它本身，则这个数是（ ）A、0B、1C、1D、0或13、和数轴上的点一一对应的是（ ）A、整数B、有理数C、无理数 D、实数4、下列命题中：（1）无理数是开不尽方的数；（2）带根号的数是无理数；（3）无限小数是无理数；（4）无理数是无限不循环小数；正确的命题有（ ）A、1个B、2个C、3个D、4个二、填空题1、若+0，则。2、小林家马上要装修房子，现计划用100块地板来铺设面积为36m2的客厅，则需要正方形地板的边长是