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全等三角形与相似三角形,3、了解相似三角形的判定与性质以及图形的位似4、掌握“两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例,3、掌握相似的条件和相似的性质,4、利用三角形相似的性质解决具体问题5、相似三角形的判定、性质的综合运用及与方程的综合,4、确定相似的常用条件:两角对应相等,尤其是在圆中应用较多。5、特殊四边形中判定相似条件的选取与构造,是考试命题较多出现的问题。,相似三角形,2定义,3性质,4判定,5应用,1.线段成比例,1.比例的基本性质,2.合比性质,3.等比性质,4.平行线分线段成比例定理及推论,1.AA2.SAS3.SSS4.HL,对应高,中线,角平分线的比等于相似比,对应周长的比等于相似比,面积比等于相似比的平方,基础知识梳理,6、相似三角形的对应角相等,对应边成比例7、相似三角形对应角平分线、对应中线、对应高线、对应周长的比都等于相似比。8、相似三角形面积的比等于相似比的平方。,证明两个三角形全等的基本思路:,(1)已知两边-,找第三边,(SSS),找夹角,(SAS),(2)已知一边一角-,已知一边和它的邻角,找是否有直角,(HL),已知一边和它的对角,找这边的另一个邻角(ASA),找这个角的另一个边(SAS),找这边的对角(AAS),找一角(AAS),已知角是直角,找一边(HL),(3)已知两角-,找两角的夹边(ASA),找夹边外的任意边(AAS),方法指引:,如图:在四边形ABCD中,点E在边CD上,连接AE、BE并延长AE交BC的延长线于点F,给出下列5个关系式:ADBC,DE=EC1=2,3=4,AD+BC=AB。将其中三个关系式作为已知,另外两个作为结论,构成正确的命题。请用序号写出两个正确的命题:(书写形式:如果那么)(1);(2);,一.填空选择题:1.(1)ABC中,D、E分别是AB、AC上的点,且AED=B,那么AEDABC,从而(2)ABC中,AB的中点为E,AC的中点为D,连结ED,则AED与ABC的相似比为_.2.如图,DEBC,AD:DB=2:3,则AED和ABC的相似比为.3.已知三角形甲各边的比为3:4:6,和它相似的三角形乙的最大边为10cm,则三角形乙的最短边为_cm.4.等腰三角形ABC的腰长为18cm,底边长为6cm,在腰AC上取点D,使ABCBDC,则DC=_.,AC,2:5,5,2cm,1:2,5.如图,ADEACB,则DE:BC=_。6.如图,D是ABC一边BC上一点,连接AD,使ABCDBA的条件是().A.AC:BC=AD:BDB.AC:BC=AB:ADC.AB2=CDBCD.AB2=BDBC7.D、E分别为ABC的AB、AC上的点,且DEBC,DCB=A,把每两个相似的三角形称为一组,那么图中共有相似三角形_组。,1:3,D,4,二、证明题:1.D为ABC中AB边上一点,ACD=ABC.求证:AC2=ADAB.2.ABC中,BAC是直角,过斜边中点M而垂直于斜边BC的直线交CA的延长线于E,交AB于D,连AM.求证:MADMEAAM2=MDME3.如图,ABCD,AO=OB,DF=FB,DF交AC于E,求证:ED2=EOEC.,一、选择题(每小题6分,共30分)1(2009绍兴中考)如图,D,E分别为ABC的AC,BC边的中点,将此三角形沿DE折叠,使点C落在AB边上的点P处若CDE=48,则APD等于()(A)42(B)48(C)52(D)58【解析】选B.根据中位线和对称知APD=CDE=48.,2.如图,ACBACB,BCB=30,则ACA的度数为()(A)20(B)30(C)35(D)40【解析】选B.根据全等三角形的性质知ACA=BCB=30.,3如图,给出下列四组条件:AB=DE,BC=EF,AC=DF;AB=DE,B=E,BC=EF;B=E,BC=EF,C=F;AB=DE,AC=DF,B=E.其中,能使ABCDEF的条件共有()(A)1组(B)2组(C)3组(D)4组【解析】选C.对照三角形全等的判定条件可知.,4.在ABC和ABC中,CC,且b-a=b-a,b+a=b+a,则这两个三角形()(A)不一定全等(B)不全等(C)根据“ASA”,两三角形全等(D)根据“SAS”,两三角形全等【解析】选D.将b-a=b-a,b+a=b+a,相加可得b=b,取b-a=b-a和b+a=b+a之差可得a=a,又因为边a和b的夹角为C,a和b的夹角为C,所以根据“SAS”两三角形全等.,5.(2010凉山中考)如图所示,E=F=90,B=C,AE=AF,结论:EM=FN;CD=DN;FAN=EAM;ACNABM其中正确的有()(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个【解析】选C.根据全等三角形的性质和判定可知.,二、填空题(每小题6分,共24分)6已知ABC中,AB=BCAC,作与ABC只有一条公共边,且与ABC全等的三角形,这样的三角形一共能作出_个.答案:3,7如图,点E是菱形ABCD的对角线BD上的任意一点,连结AE、CE请找出图中一对全等三角形为_【解析】根据菱形的性质特点以及判定三角形全等的条件可知.ABDCBD或ADECDE或BCEBAE.答案:ABDCBD(答案不惟一),8如图,C=E=90,AC=3,BC=4,AE=2,则AD=_.【解析】由题意得:ABCADE,答案:,9.(2010聊城中考)如图,在RtABC中,ACB90,BAC60,AB6,RtABC可以看作是由RtABC绕点A逆时针方向旋转60得到的,则线段BC的长为_.【解析】过B作CA延长线的垂线交延长线于点E,根据旋转可知ABCABC,则AB=6,BAE=60,BE=,AE=3,则在RtCBE中,BC答案:,三、解答题(共46分)10.(10分)(2010宁德中考)如图,已知AD是ABC的角平分线,在不添加任何辅助线的前提下,要使AEDAFD,需添加一个条件是:_,并给予证明.,【自主解答】方法一:添加条件:AEAF证明:在AED与AFD中,AEAF,EADFAD,ADAD,AEDAFD(SAS).方法二:添加条件:EDAFDA,证明:在AED与AFD中,EADFAD,ADAD,EDAFDA,AEDAFD(ASA).,11.(12分)(2010淮安中考)已知:如图,点C是线段AB的中点,CE=CD,ACD=BCE,求证:AE=BD.【证明】点C为AB中点,AC=BC,又ACD=BCE,ACD+DCE=BCE+DCE,即ACE=BCD,在ACE和BCD中,AC=BCACE=BCDCE=CD,ACEBCD,AE=BD.,12(12分)如图,已知AC平分BAD,1=2,求证:AB=AD.【证明】AC平分BAD,1=2,在和中BAC=DACABC=ADCAC=AC.(其他不同证法亦可),13(12分)如图,在ABC中,ACB=2B(1)根据要求作图:作ACB的平分线交AB于D;过D点作DEBC,垂足为E(2)在(1)的基础上写出一对全等三角形和一对相似比不为1的相似三角形:_;_请选择其中一对加以证明,【解析】(1)正确作出角平分线CD;正确作出DE(2)BDECDE;ADCACB选择BDECDE进行证明:DC平分ACB,DCE=ACB,又ACB=2B,B=ACB,DCE=B,,DEBC,DEC=DEB=90,又DE=DE,BDECDE(AAS)或选择ADCACB进行证明:DC平分ACB,ACD=ACB,又ACB=2B,B=ACB,ACD=B,又A=A,ADCACB.,
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