2020 高考数学模拟试卷（1）南京师范大学数学之友数学 I 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分请把答案直接填写在答题卡相应位置上1.已知集合 A = 2,3, B = 2,4 ，则 A B = .2.设 i 是虚数单位，复数 z = a + bi (a, b R) ，若 z2 = 4 + 2i ，则 ab = .3.将 6 个数据 1,2,3,4,5,a 去掉最大的一个，剩下的 5 个数据的平均数为 1.8，则 a= .开始4.右图是一个算法流程图，则输出的 S 的值是 . (用数据作答)5.从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个,其个位数为 0 的概率是 .6.函数 f ( x) = 1 - lg( 2 - x) 的定义域为 .7.曲线 y = 2 sin(wx + p )(w 0) 的一个对称中心的坐标为 (3,0) ，则 w 的最4小值为 .是k 0) 的左焦点到左准线的距离与它到右准线的a 2b2输出 S距离的比为1: 2 ，则双曲线的右顶点、右焦点到它的一条渐近线的距离分别结束d1为 d1 , d 2 ，则= .d 2（第 4 题图）S=S+k=k+1k=0,S=1注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1 本试卷共 4 页，包含填空题（共 14 题）、解答题（共 6 题），满分为 160 分，考试时间为 120分钟。考试结束后，请将答题卡交回。2 答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔填写在答题 卡上，并用 2B 铅笔正确填涂考试号。3 作答试题必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答 一律无效。4 如有作图需要，可用 2B 铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚。9.如右图，一个圆柱的体积为4，AB、CD分别是上、下底面直径， 且CD AB，则三棱锥A BCD的体积为 .x3 - x, x 0,- x2 + 3x, x 0,10.已知 f ( x) = ， g ( x) = 则不等式 f ( g ( x) 6 的解集为sin x, x 0cos x + x, x 0 .11.直线 y = ax + b 是曲线 y = x +1的切线，则 a + b 的最小值为 .12.各项为正且公差不为 0 的等差数列an 的第 1 项、第 2 项、第 6 项恰好是等比数列bn 1 1 1 1*的连续三项（顺序不变），设 Sn =+ +，若对于一切的 n N ，Sn ，a1a2 a2 a3an an +1a1则 a1 的最小值为 .ANM13.在 ABC 中，AC=2BC=4， ACB 为钝角， M , N 是边 AB 上的两个动点，且 MN = 1 ，若 CM CN 的最小值为 3 ，则 cosACB = .C（第 13 题）B414.设 a, b 是两个实数， 0 a b 0)18. 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 已 知 椭 圆C:l : y = kx + t (k , t R, k 0) ., 直线（1）若椭圆 C 的一条准线方程为 x = 4 ，且焦距为 2，求椭圆 C 的方程；（2）设椭圆 C 的左焦点为 F，上顶点为 A，直线 l 过点 F，且与 FA 垂直，交椭圆 C 于 M,N（M 在 x 轴上方），若 NF = 2FM ，求椭圆 C 的离心率；（3）在（1）的条件下，若椭圆 C 上存在相异两点 P,Q 关于直线 l 对称，求 t 2 的取值范围（用 k 表示）.1119.已知函数 f(x)(axa1) x-1，g(x) ax2x a，其中 aR.221(1)当 a0 时，求函数 F(x)f(x)2 x1)2 在 R 上的零点个数；(2)对任意的 x1，有 f(x)g(x)恒成立，求实数 a 的取值范围(*20.若无穷数列 an 和无穷数列 bn 满足：存在正常数 A，使得对任意的 n N ，均有an - bn A ，则称数列an 与bn 具有关系 P( A) .*（1）设无穷数列an 和bn 均是等差数列，且 an = 2n, bn = n + 2(n N ) ，问:数列an 与bn 是否具有关系 P(1) ? 说明理由;13*（2）设无穷数列an 是首项为 1，公比为的等比数列， bn = an +1 + 1， n N，证明:数列an 与bn 具有关系 P( A) ;并求 A 的最小值；（3）设无穷数列an 是首项为 1，公差为 d (d R ) 的等差数列，无穷数列bn 是首项为 2，公比为 q(q N* ) 的等比数列，试求数列a 与b 具有关系 P( A) 的充要条件.nn数学（附加题）21【选做题】在 A、B、C 三小题中只能选做 2 题，每小题 10 分，共 20 分请在答题卡指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修 42：矩阵与变换C选修 45：不等式选讲已知： a, b, c R+ 且 a + 2b + 3c = 1, 求证 a2 + b2 + c2 1 .14注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1. 本试卷共 2 页，均为非选择题（第 2123 题）。本卷满分为 40 分，考试时间为 30 分钟。 考试结束后，请将答题卡交回。2. 答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔填写 在答题卡上，并用 2B 铅笔正确填涂考试号。3. 作答试题必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位 置作答一律无效。4. 如有作图需要，可用 2B 铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚。【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分请在答卷卡指定区域内作答解答应写出 文字说明、证明过程或演算步骤22 某中学有 4 位学生申请 A，B，C 三所大学的自主招生若每位学生只能申请其中一所大学，且申请其中任何一所大学是等可能的（1）求恰有 2 人申请 A 大学的概率；（2）求被申请大学的个数 X 的概率分布列与数学期望 E(X)23. 设整数 n 3 ，集合 P=1,2,3,n，A，B 是 P 的两个非空子集.记 M n 为所有满足 A中的最大数小于 B 中的最小数的集合对 ( A, B) 的个数. (1)求 M 3 ；(2)求 M n . 2020 高考数学模拟试卷（1）答案一、填空题答案： 1314102451. 2,3,42. 19386. 8,2)11.278.9433解：设直线 y = ax + b 与曲线 y =x +1相切于点 ( x0 ,x0 + 1)(x0 0) ，由 y = x +1得11y=，所以切线方程为 y - ( x + 1) =( x - x ) ，即x = x0002 x02 x01a = 2 ,xx01+ 1，所以 0y =x +，所以2 x02x0b =+ 12x0x011a + b =+ 1 2+ 1 = 2 ，222 x02 x0可以加一句“当且仅当 x0 = 1 时，等号成立，所以 (a + b)= 2min112322解：设等差数列an 的公差为 d，由 a2 = a1a6 得 (a1 + d ) = a1 (a1 + 5d ) ，因为 d 0 ，所111以 d = 3a1 ，所以 an = a1 + (n -1)d = (3n - 2)a1 ， Sn =+ +a1a2 a2 a3an an +1= ( 1 - + - + + - ) = 11 1 11 11ndn=23a1 a1 a2 a2 a3anan+13a1 a1 (3n + 1)a1 (3n + 1)a1n1nn1111