1,2020/7/5,7.1 解析变换的特性,7.1.1 解析变换的保域性 7.1.2 解析变换的保角性 7.1.3 单叶解析变换的共形性,第七章 共形映射,2,2020/7/5,定理7.1 (保域定理)设w=f(z)在区域D内解析且 不恒为常数,则D的象G=f(D)也是一个区域.,证 首先证明G的每一点都是内点.,设w0G,则有一点z0D,使w0=f(z0).,要证w0是G的内点,只须证明w*与w0充分接近时,w*亦属于G.,即当w*与w0 充分接近时,方程w*=f(z)在D内有解.,为此,考察 f(z)-w*=(f(z)-w0)+(w0-w*,),由解析函数零点的孤立性,必有以z0为心的某个圆C:|z-z0|=R,显然 f(z0)-w0=0,f(z)-w0在C上及C的内部(除z0外),C及C的内部全含于D,使得,均不为零.因而在C上:,7.1.1解析变换的保域性,内的点w*及在C上的点z有,对在邻域,3,2020/7/5,因此根据儒歇定理,在C的内部,与f(z)-w0有相同零点的个数.于是w*=f(z)在D内有解.,由于D是区域,可在D内部取一条联结z1,z2的折线C:z=z(t) t1tt2,z(t1)=z1,z(t2)=z2.于是：,就是联结w1,w2的并且完全含于D的一条曲线.,从而,参照柯西积分定理的古莎证明第三步,可以找到,其次,要证明G中任意两点w1=f(z1),w2=f(z2)均可以用一条完全含于G的折线联结起来.（连通性）,一条连接w1,w2,内接于 且完全含于G的折线1,总结以上两点,即知G=f(D)是区域.,4,2020/7/5,证 因f(z)在区域D内单叶,必f(z)在D内不恒为常数.,定理7.2 设w=f(z)在区域D内单叶解析,则D的象G=f(D)也是一个区域.,注 定理7.1可以推广成这样的形式:“w=f(z)在扩充z平面的区域D内除可能有极点外处处解析（即为亚纯函数）,且不恒为常数,则D的象G=f(D)为扩充z平面上的区域.,注 满足定理7.2和7.3的条件的解析变换w=f(z)将z0的一个充分小的邻域内变成w0=f(z0)的一个曲边邻域.,定理7.3 设函数w=f(z)在点z0解析,且f (z0)0,则f(z)在z0的一个邻域内单叶解析.,5,2020/7/5,7.1.2 解析变换的保角性,导数的几何意义,设w=f(z)于区域D内解析,z0D,在点z0有导数,通过z0任意引一条有向光滑曲线,C:z=z(t)(t0tt1),z0=z(t0).,因此C在z0有切线,就是切向量,经变换w=f(z),的参数方程应为,它的倾角为,C,w=f(z),C的象曲线,由定理7.3及第三章习题(一)13, 在点w0=w(t0)的邻域内是光滑的.,又由于,故 在w0=f(z0)也有切线，,设其倾角为，则,就是切向量,6,2020/7/5,图7.1,且,（7.1）,（7.2）,如果假定x轴与u轴,y轴与v轴的正方向相同,而且将原曲线切线的正方向与变换后象曲线的切线正方向间的夹角,理解为原曲线经过变换后的旋转角,则：,(7.1)说明:象曲线 在点 的切线正向,可由原曲线C在点 的切线正向旋转一个角度 得出。,仅与 有关,而与经过 的曲线C的选择无关,称为变换 在点 的旋转角。,导数辐角的几何意义.,(7.2)说明:象点间无穷小距离与原象点间的无穷小距离之比,的极限是 ,它仅与 有关,而与过 的曲线C的,7,2020/7/5,方向无关,称为变换w=f(z)在点 的伸缩率.这也就是导数模的几何意义.,上面提到的旋转角与C的选择无关的这个性质,称为旋转角不变性;伸缩率与C的方向无关,这个性质,称为伸缩率不变性.,从几何意义上看:如果忽略高阶无穷小,伸缩率不变性就表示w=f(z)将 处无穷小的圆变成 处的无穷小的圆,其半径之比为 .,上面的讨论说明:解析函数在导数不为零的地方具有旋转角不变性与伸缩率不变性.,上式可视为,8,2020/7/5,经点z0的两条有向曲线C1,C2的切线方向所构成的角称为两曲线在该点的夹角.,O,x,(z),z0,定义7.1 若函数w=f(z)在点 的邻域内有定义,且在点 具有: (1)伸缩率不变性; (2)过 的任意两曲线的夹角在变换w=f(z)下,既保持大小,又,z0,z0,z0,保持方向;则称函数w=f(z)在点 是保角的,或称w=f(z)在点 是保角变换.,如果w=f(z)在区域D内处处都是保角的，则称 w=f(z)在区域D内是保角的，或称w=f(z)在区域D内是保角变换.,z0,z0,9,2020/7/5,转动角的大小与方向跟曲线C的形状与方向无关. 所以这种映射具有转动角的不变性.,通过z0点的可能的曲线有无限多条, 其中的每一条都具有这样的性质, 即映射到w平面的曲线在w0点都转动了一个角度Arg f (z0).,10,2020/7/5,相交于点z0的任何两条曲线C1与C2之间的夹角,在其大小和方向上都等同于经w=f (z)映射后C1与C2对应的曲线G1与G2之间的夹角,所以这种映射具有保持两曲线间夹角与方向不变的性质.这种性质称为保角性。,y,11,2020/7/5,定理7.4 如w=f(z)在区域 D内解析,则它在导数不为零的点处是保角的.,推论7.5 如w=f(z)在区域D内单叶解析,则称 w=f(z)在区域D内是保角的.,总结上述讨论，我们有以下结论：,例1求w= f(z)=z3 在 z=0, z=i 处的导数值,并说明几何意义。,解 w= f(z)=z3在全平面解析， 。,在z=i 处具有伸缩率不变和保角性。,伸缩率为3，旋转角为 。,12,2020/7/5,定义7.2 如果w=f(z)在区域D内是单叶且保角的,则称此变换w=f(z)在D内是共形的,也称它为D内的共形映射.,7.1.3 单叶解析变换的共形性,定理7.6 设w=f(z)在区域D内单叶解析.则 (1)w=f(z)将D共形映射成区域G=f(D). (2)反函数 在区域G内单叶解析,且,证 (1)由推论7.2,G是区域,由推论7.5及定义7.2,w=f(z)将D共形映射成G.,(2)由定理6.11, ,又因w=f(z) 是D到G的单叶满变换,因而是D到G的一一变换.,于是,当 时, ,即反函数 在区域G内单叶.故,13,2020/7/5,由假设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析,即 在D内满足C.-R.方程ux=vy,uy=-vx.故,由数学分析中隐函数存在定理,存在两个函数x=x(u,v),y=y(u,v)在点 及其一个邻域 内为连续，即在邻域 中,当 时,必有,故,即,14,2020/7/5,在D内作以z0为其一个顶点的小三角形, 在映射下, 得到一个以w0为其一个顶点的小曲边三角形, 这两个三角形对应边长之比近似为|f (z0)|, 有一个角相等, 则这两个三角形近似相似.,定理的几何意义.,15,2020/7/5,16,2020/7/5,第二节 分式线性变换,7.2.1 分式线性变换及其分解 7.2.2 分式线性变换的映射性质 7.2.3 分式线性变换的应用,17,2020/7/5,(7.3),为分式线性变换.简记为w=L(z).,1.定义,7.2.1 分式线性变换及其分解,称变换,注:,条件ad-bc0是必要的。因若ad-bc=0,则, 约定：w=L(z)的定义域为C：,(7.4),结论,w=L(z)将CC,w=L(z)的逆变换为, w=L(z)在扩充z平面上是保域的,18,2020/7/5,2. 分式线性变换 w=L(z)的分解,结论：分式线性变换 w=L(z)可以分解为如下简单变换的复合,整线性变换,旋转变换,伸缩变换,平移变换,反演变换,关于单位圆周的对称变换,关于实轴的对称变换,19,2020/7/5,O,(z)(w),z,w,b,i)w=z+b. 这是一个平移映射. 因为复数相加可以化为向量相加, z沿向量b的方向平移一段距离|b|后, 就得到w.,O,(z)=(w),z,w,a,ii) w=az, a0. 这是一个旋转与伸长(或缩短)的映射. 设 将 z 先转一个角度a, 再将|z|伸长(或缩短) 倍后, 就得到 w.,20,2020/7/5,z,w1,w,1,O,圆周的对称点,P与P关于圆周C互为对称点,21,2020/7/5,7.2.2 分式线性变换的映射性质,1.保角性（或共形性）,而i)与ii)是平移,旋转和伸缩变换,显然是共形的,所构成的复合映射w=az+b在整个扩充复平面上是共形的。,定理一 分式线性变换在扩充复平面上是一一对应的, 且具有保角性.,而分式线性变换是上述三种映射复合而构成的,因此有,22,2020/7/5,映射w=az+b和w=1/z都具有将圆周映射成圆周的特性, （这里将直线看作是无穷大半径的圆）这种性质称作保圆性。映射w=az+b显然具有保圆性,下面说明w=1/z具有保圆性.,2. 保圆性,因此, 映射w=1/z将方程,变为方程,当a0,d0：圆周映射为圆周; 当a0,d=0：圆周映射成直线;当a=0,d0：直线映射成圆周； 当a=0,d=0：直线映射成直线.,这就是说, 映射w=1/z把圆周映射成圆周. 或者说, 映射w=1/z具有保圆性.,23,2020/7/5,定理二 分式线性变换将扩充 z平面上的圆周映射成扩充w平面上的圆周, 即具有保圆性.,根据保圆性, 在分式线性变换下, 如果给定的圆周或直线上没有点映射成无穷远点, 则它就映射成半径为有限的圆周; 如果有一个点映射成无穷远点, 它就映射成直线.,24,2020/7/5,定义7.5 关于圆周 对称是指 都在过圆心a的同一条射线上,且满足 此外,还规定圆心a与点关于 为对称的。,3. 保对称点性,定理7.11 扩充z平面上两点 关于圆周 对称的充要条件是,通过 的任意圆周都与 正交.,定理7.12 设扩充z平面上两点 关于圆周 对称,w=L(z)为一线性变换,则 两点关于圆周 对称.,证 设 是扩充w平面上经过 的任意圆周.此时, 必然存在一个圆周 ,它经过 ,并使 ,因为 关于 对称,故由定理7.11, 与 亦正交.这样,再由定理7.11即知 关于 对称.,25,2020/7/5,26,2020/7/5,当四点中有一点为时,应将包含此点的项用1 代替.例如z1= 时,即有 亦即先视z1为有限,再令 取极限而得.,定义7.4 扩充平面上顺序的四个相异点z1,z2,z3,z4构成下面的量,称为它们的交比,记为(z1,z2,z3,z4):,4. 保交比性,27,2020/7/5,定理7.8 在线性变换下,四点的交比不变.,证 设,则,因此,定理7.9 设线性变换将扩充z平面上三个相 异点z1,z2,z3指定为w1,w2,w3,则此分式线性变换 换就被唯一确定,并且可以写成 (7.10) (即三对对应点唯一确定一个线性变换).,28,2020/7/5,例1 求将上半平面Im(z)0映射成单位圆|w|1的分式线性变换.,O,1,-1,x,y,l,O,1,-1,u,i,v,(z),(w),5. 分式线性变换的应用,29,2020/7/5,解法一 在x轴上任意取定三点:z1=-1, z2=0, z3=1使它们对应于|w|=1上三点:w1=1, w2=i, w3=-1, 则因z1z2z3跟w1w2w3的绕向相同, 所求的分式线性映射为,化简后即得,注 如果选取其他三对不同点,势必也能得出满足要求的, 但不同于上式的分式线性变换. 此可见, 把上半平面映射成单位圆的分式线性变换不是唯一的, 而是有无穷多.,30,2020/7/5,解法二 将上半平面看成半径为无