数学模型MathematicalModel,（4）,确定性连续模型,从建模的目的看：模型涉及的主要因素是确定性的涉及的变量大多是连续的特别是时间是连续变化的这类问题一般可以用数学分析的工具加以解决，而建立这类模型所用的主要数学工具是微积分、微分方程及其稳定性、变分法等。这里主要讲微分法的一些思想：微分法建模（静态优化模型）,首先介绍一些常用的模型1、人口模型影响人口增长的因素很多，如人口基数、性别比、经济发展水平、天灾人祸等。由于人口总数很大，故而可以认为人口总数是时间t的连续可微变量。（1）Malthus模型假设：人口总数的变化是封闭的（无迁入迁出）个体具有相同的生殖能力及其死亡率，人口在自然增长过程中，相对增长率是一个常数，记为r（称为生命系数），这一系数等于出生率减去死亡率。,确定性连续模型,设t时刻总数为N(t)，则N(t)满足：dN/dt=rN若t=t0时刻，N=N0，则方程的通解为：结论分析：r0时，LimN(t)=?但是17001961年世界人口的统计数据检验表明比较吻合，说明该模型适合于种群基数不大，生存空间和自然资源都充裕的条件下，自然增长的情形。,确定性连续模型,（2）Logistic模型荷兰生物学家Verhulst引入假设：由于生存空间和自然资源等因素的限制，有最大容量Nm的限制，人口总数的净相对增长率为r1-N(t)/Nm故而，人口模型的修正为Logistic模型：dN/dt=r1-N/NmN若t=t0时刻，N=N0，则方程的通解为：,确定性连续模型,NNm为系统的平衡点当NNm时，dN/dt0,确定性连续模型,由于生物学家预测估计，r0.029，N30.6*108时人口每年的相对增长率为0.02，则可以估计出世界人口总数的极限Nm98.6*108人（约100亿）。1961年世界人口总数尚未达到一半，处于加速增长阶段，1987年世界人口达到50亿，人口开始减速增长。（3）人口结构模型由于人口结构有很大影响，引入年龄密度和死亡率：(r,t):t时刻年龄为r的人口密度(r,t):t时刻年龄为r的死亡率，rm为最大年龄,确定性连续模型,所以t时刻人口总数N(t)为：故t时刻年龄在r，r+r)内的人数为(r,t)r经过时间t后，这些人口年龄在r+t,r+r+t)人数为(r+t,t+t)r，若不考虑迁移，人数变化是由人口的死亡引起的：(r,t)r-(r+t,t+t)r=(r,t)(r,t)rt变形得：(r+t,t+t)-(r,t+t)+(r,t+t)-(r,t)r=-(r,t)(r,t)rt,确定性连续模型,令r，t趋近0，得到所以可得人口模型为：,确定性连续模型,若假定死亡率与时间无关，即(r,t)=(r),可得通解为该模型还可以进一步对f(t)分析，考虑男女性别比例和生育率等因素，进一步具体化模型(略)上述模型可以应用到再生资源模型（产量模型、效益模型）和生态模型,确定性连续模型,思考与练习：某动物最高年龄29岁，按间隔10岁将动物分为三组，现设初始时刻在09，1019，2029三个年龄组得动物数量均是1000头。莱斯利矩阵是（1）求10年，20年，30年后各年龄组的动物数（2）求这一动物种群的自然增长率r及稳定的年龄分布（3）种群的发展趋势,确定性连续模型,确定性连续模型,2、不允许缺货的存储模型背景（1）工厂定期定购原料存储在仓库以供生产（2）商店成批购进商品存储在货柜以零售（3）水库雨季蓄水以用于灌溉问题：存储多少最佳？,确定性连续模型,假设问题要求不允许缺货，我们只考虑订货费（一次性）、储存费、货物价格（实际上无关）目标：制定最优存储策略，即多长时间订一次货，每次订多少，使得总的费用最少？假设（1）每次定货费为C1，每天每吨货物存储费C2（2）每天货物需要量为r（简化）（3）每T天定货量为Q，当存储量为0时定货立即到达。所以：Q=rT任意时刻存储量q(t)则线性变化,确定性连续模型,一个周期内总费用为：即为总费用每天平均费用C(T)为求最小值点得,确定性连续模型,结果分析：（1）价格因素（2）该问题若是多种货物怎么处理？（3）参数不考虑是常数怎么办？（4）允许缺货时又该怎么办？（5）目标函数考虑总费用而不是平均每天费用又会？,确定性连续模型,假设（1）每次定货费为C1，每天每吨货物存储费C2（2）每天货物需要量为r（3）每T天定货量为Q，每天每吨缺货费C3若t=T1时售完t=T时定货Q到达所以：Q=rT1一个周期内总费用为：,确定性连续模型,每天平均费用C(T1,Q)为求最小值点得,经济增长模型,增加生产发展经济,增加投资,增加劳动力,提高技术,建立产值与资金、劳动力之间的关系,研究资金与劳动力的最佳分配，使投资效益最大,调节资金与劳动力的增长率，使经济(生产率)增长,1.道格拉斯(Douglas)生产函数,产值Q(t),F为待定函数,资金K(t),劳动力L(t),技术f(t),=f0,模型假设,静态模型,每个劳动力的产值,每个劳动力的投资,z随着y的增加而增长，但增长速度递减,1.道格拉斯(Douglas)生产函数,含义？,Douglas生产函数,QK单位资金创造的产值,QL单位劳动力创造的产值,资金在产值中的份额,1-劳动力在产值中的份额,更一般的道格拉斯(Douglas)生产函数,1.Douglas生产函数,w,r,K/L,求资金与劳动力的分配比例K/L(每个劳动力占有的资金)，使效益S最大,资金和劳动力创造的效益,资金来自贷款，利率r,劳动力付工资w,2）资金与劳动力的最佳分配（静态模型）,3)经济(生产率)增长的条件(动态模型),要使Q(t)或Z(t)=Q(t)/L(t)增长,K(t),L(t)应满足的条件,模型假设,投资增长率与产值成正比(用一定比例扩大再生产),劳动力相对增长率为常数,Bernoulli方程,产值Q(t)增长,4)经济增长的条件,劳动力增长率小于初始投资增长率,每个劳动力的产值Z(t)=Q(t)/L(t)增长,思考：传染病模型,问题,描述传染病的传播过程,分析受感染人数的变化规律,预报传染病高潮到来的时刻,预防传染病蔓延的手段,按照传播过程的一般规律，用机理分析方法建立模型,