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天水市一中2015级20172018学年度第二学期第一次模拟考试数学试卷(理科)第卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1已知(13i)(2i)43i(其中i是虚数单位,是z的共轭复数),则z的虚部为( )A1 B1 Ci Di 2如图,已知R是实数集,集合Ax|log(x1)0,Bx|0,则阴影部分表示的集合是( )A0,1 B0,1) C(0,1) D(0,13已知命题p:x(,0),2x3x;命题q:x,tan xsin x,则下列命题为真命题的是( )Apq Bp(q) C(p)q Dp(q) 4有4位同学参加某智力竞赛,竞赛规定:每人从甲、乙两类题中各随机选一题作答,且甲类题目答对得3分,答错扣3分,乙类题目答对得1分,答错扣1分若每位同学答对与答错相互独立,且概率均为,那么这4位同学得分之和为0的概率为 ( )A. B. C. D. 5设M为平行四边形ABCD对角线的交点,O为平行四边形ABCD所在平面内的任意一点,则等于 ( )A. B2 C3 D4 6.设 ab1, ,给出下列三个结论: ; ; ,其中所有的正确结论的序号是.A B. C. D. 7.某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥外接球的表面积是( )A B C D8已知等差数列an的前n项和为Sn,且S210,S555,则过点P(n,an)和Q(n2,an2)(nN*)的直线的斜率是( )A4 B3 C2 D19某程序框图如图所示,若输出的k的值为3,则输入的x的取值范围为( )A15,60) B(15,60 C12,48) D(12,4810已知P(x,y)为平面区域(a0)内的任意一点,当该区域的面积为3时,z2xy的最大值是( )A1 B3 C2 D6 11设Sn是公差不为0的等差数列an的前n项和,S1,S2,S4成等比数列,且a3,则数列的前n项和Tn( )A B. C D.12过抛物线y22px(p0)的焦点F,且倾斜角为的直线与抛物线交于A,B两点,若AB的垂直平分线经过点(0,2),M为抛物线上的一个动点,则M到直线l1:5x4y40和l2:x的距离之和的最小值为( )A. B. C. D.第卷(非选择题 共90分)本卷包括必考题和选考题两部分第13题21题为必考题,每个试题考生都必须做答,第22题23题为选考题,考生根据要求做答二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分把答案填在题中横线上) 13双曲线:1(a0,b0)的焦距为10,焦点到渐近线的距离为3,则的实轴长等于_ 14已知(12x)5(1ax)4的展开式中x的系数为2,则实数a的值为_15.已知,则不等式的解集为 16在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,M,N分别是AC1,A1B1的中点,点P在其表面上运动,则总能使MP与BN垂直的点P所构成的轨迹的周长等于_三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17(本小题满分12分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知cos2Bcos B1cos Acos C.(1)求证:a,b,c成等比数列;(2)若b2,求ABC的面积的最大值 18(本小题满分12分)某调查机构从某县农村淘宝服务网点中随机抽取20个网点作为样本进行元旦期间网购金额(单位:万元)的调查,获得的所有样本数据按照区间0,5,(5,10,(10,15,(15,20,(20,25进行分组,得到如图所示的频率分布直方图(1)根据样本数据,试估计样本中网购金额的平均值;(注:设样本数据第i组的频率为pi,第i组区间的中点值为xi(i1,2,3,4,5),则样本数据的平均值为x1p1x2p2x3p3x4p4x5p5)(2)若网购金额在(15,25的服务网点定义为优秀服务网点,其余为非优秀服务网点从这20个服务网点中任选2个,记表示选到优秀服务网点的个数,求的分布列及数学期望 19(本小题满分12分)如图,在四棱锥SABCD中,底面ABCD为平行四边形,ADC60,SA1,AB2,SB,平面SAB底面ABCD,直线SC与底面ABCD所成的角为30. (1)证明:平面SAD平面SAC;、(2)求二面角BSCD的余弦值 20.(本小题满分12分)已知椭圆C:1(ab0)的右焦点为F2(2,0),点P在椭圆C上(1)求椭圆C的标准方程;(2)是否存在斜率为1的直线l与椭圆C相交于M,N两点,使得|F1M|F1N|(F1为椭圆的左焦点)?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由 21.(本小题满分12分)已知函数f(x)(xa)ln x,g(x),曲线yf(x)在点(1,f(1)处的切线与直线2xy30平行(1)求证:方程f(x)g(x)在(1,2)内存在唯一的实根;(2)设函数m(x)minf(x),g(x)(minp,q表示p,q中的较小者),求m(x)的最大值 请考生在第22、23题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分22(本小题满分10分)选修44:坐标系与参数方程将圆x2y21上每一点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标变为原来的3倍,得曲线.(1)写出的参数方程;(2)设直线l:3x2y60与的交点为P1,P2,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程 23(本小题满分10分)选修45:不等式选讲已知函数f(x)|2xa|.(1)若f(x)b的解集为x|1x2,求实数a、b的值;(2)若a2时,不等式f(x)mf(x2)对一切实数x均成立,求实数m的取值范围 数学(理科)答案1解析:选A.因为13i13i12i13i2i,所以z2i,z的虚部为1,故选A.2解析:选D.由题可知Ax|1x2,Bx|0x,且图中阴影部分表示的是B(RA)x|0x1,故选D.3解析:选C.根据指数函数的图象与性质知命题p是假命题,则綈p是真命题;根据单位圆中的三角函数线知命题q是真命题,故选C. 4.解析:选A.每人的得分情况均有4种可能,因而总的情况有44256种,若他们得分之和为0,则分四类:4人全选乙类且两对两错,有C种可能;4人中1人选甲类对或错,另3人选乙类全错或全对,有2C种可能;4人中2人选甲类一对一错,另2人选乙类一对一错,有C22种可能;4人全选甲类且两对两错,有C种可能共有C2CC22C44种情况,因而所求概率为P,故选A.5解析:选D.因为M是平行四边形ABCD对角线AC、BD的交点,所以2,2,所以4,故选D.6.【答案】D【解析】由不等式及ab1知,又,所以,正确;由指数函数的图像与性质知正确;由ab1,知,由对数函数的图像与性质知正确.7案: B 提示:四棱锥的底面垂直与水平面。 8解析:选A.设等差数列an的公差为d,因为S22a1d10,S5(a1a5)5(a12d)55,所以d4,所以kPQd4,故选A. 9解析:选B.根据程序框图的要求逐步分析每次循环后的结果,可得不等式组,解得15x60,故选B.10. 解析:选D.不等式组变形可得,先作出可行域如图中阴影部分所示,则可行域的面积S(2a2a2)13,解得a1,平移直线y2x,得z2xy在点(2,2)处取得最大值6,故选D.11解析:选C.设an的公差为d,S1a1,S22a1d2a1a1,S43a3a1a1,因为S1,S2,S4成等比数列,所以 2a1,整理得4a12a150,所以a1或a1.当a1时,公差d0不符合题意,舍去;当a1时,公差d1,所以an(n1)(1)n(2n1),所以,所以其前n项和Tn,故选C.12. 解析:选A.抛物线的焦点为F,准线为x,故直线AB的方程为yx,设A(x1,y1),B(x2,y2),由2x23px0,所以x1x23p,y1y22p,故线段AB的中点坐标为,又AB的垂直平分线经过点(0,2),故AB垂直平分线的方程为yx2,故p2,p,x是抛物线的准线,作MCl1于点C,MDl2于点D,如图所示,由抛物线的定义知|MD|MF|,当M,C,F三点共线且点M位于C,F之间时,距离之和最小,其值是F到l1:5x4y40的距离,由点到直线的距离公式可得其距离d.13解析:双曲线的焦点(0,5)到渐近线yx,即axby0的距离为b3,所以a4,2a8. 答案:8 14解析:因为(12x)5的展开式中的常数项为1,x的系数为C(2)10;(1ax)4的展开式中的常数项为1,x的系数为Ca4a,所以(12x)5(1ax)4的展开式中x的系数为14a1(10)2,所以a3.答案:315.【解析】,因为所以是偶函数。所以所以变形为:又所以在单调递增,在单调递减。所以等价于故填 16解析:分别取BB1,CC1的中点E,F,连接AE,EF,FD,则BN平面AEFD,设M在平面ABB1A1中的射影为O,过MO与平面AEFD平行的平面为,所以能使MP与BN垂直的点P所构成的轨迹为矩形,其周长与矩形AEFD的周长相等,又矩形AEFD的周长为2,所以所求轨迹的周长为2.答案:2 17 解:(1)在ABC中,cos Bcos(AC)由已知,得(1
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