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第四节 幂级数,一、幂级数 二、幂级数的性质,设 是定义在区间(a,b)内的函数(其中至少有一个 不是常数),则称 为定义在(a,b)内的函数项级数.,对于(a,b)内的每一个值 ,函数项级数都化为常数项级数,即,定义9.5 如果 收敛,则称x0为 的收敛点, 级数 的收敛点的全体称为该级数的收敛域.如 果 发散,则称x0为 的发散点.,在 的收敛域内有 .,记,称S(x)为级数 的和函数. 同样称 为 的余项. 在收敛域内总有 .,一 、幂级数,定义9.6 形如,或,(其中 都是常数 )的函数项级数,称为幂 级数.称 为幂级数的系数,又可称它们 为定义在 内的幂级数.前者又称为 的 幂级数,后者又称为x的幂级数.,证明 (1)显然.,(2)若级数 收敛,则 ,存在 ,使,因此,从而几何级数 收敛.,即 绝对收敛.,定理的第3部分反证法: 设 时, 收敛,,则依第2部分的结论 在x2处收敛,矛盾.,这表明如果幂级数 在x1处收敛,则在区间 内绝对收敛;如果幂级数在 处发散,则在 之外的任何点x处必定发散.,推论 如果幂级数 不是仅在x=0处收敛,也不是 在整个数轴都收敛,则必有一个完全确定的正数R存 在,使得,(1)当|x|R时, 绝对收敛;,(2)当|x|R时, 发散;,(3)当x=R与x=R时, 可能收敛,也可能发散.,定义9.7 通常称上述R为幂级数 的收敛半径,称 (R,R)为幂级数的收敛区间.,如果对于任意x,幂级数 都收敛,则定义其 收敛半径为 ,收敛区间为 .,如果幂级数 仅在x=0处收敛,则定义其收 敛半径R=0.,定理9.7 对于幂级数 ,设 ,并设,若,证 如果认定x为某确定的数值且 , 则可以认定 为数项级数.,因此,由正项级数的比值判别法知, 当 ,即 时, 绝对收敛,,考察其各项绝对值所构成的数项级数,当 ,即 时, 发散,,所以 是其收敛半径.,当 ,对于任意的x值, 总有 , 所以幂级数 在 内绝对收敛.,当 ,对于任意的 值, 总有 ,所以幂级数 对任何 都发散.,它只在x=0处收敛,即收敛半径为R=0.,例1 求幂级数 的收敛半径与收敛区间.,解 由于 ,有,可知收敛半径 ,,收敛区间为(R,R)=(1,1).,有必要指出,若 收敛半径为R,,当|x|R时, 发散,,当 时, 可能收敛,可能发散.,当x在 (R,R)内取值时, 绝对收敛,,当x=1时,原级数化为,为调和级数,因而发散.,故原幂级数的收敛域为1,1).,对于例1,R=1,可知,当x=1时,原级数为,为交错级数,由莱布尼茨定理知其收敛.,例2 求幂级数 的收敛半径与收敛区间.,解 由于 ,因而,可知收敛半径R=0,所给级数仅在x=0处收敛.,例3 求幂级数 的收敛半径与收敛区间.,解 由于 ,因而,可知收敛半径 ,收敛区间为 .,例4 求幂级数 的收敛半径与收敛区间.,解 可设y=x1,则原级数化为 . 此处,可知收敛半径 , 收敛区间为 即,1x11,即0x2.,例5 求级数 的收敛半径与收敛区间.,解 本例中只含x的偶次幂,不含x的奇次幂,我们称 之为缺项情形.对于缺项情形,不能用前述定理.通 常的方法考察后项与前项绝对值之比的极限,得,当 即 时, 所给级数绝对收敛,,当 时,所给级数发散.,因此所给级数收敛半径为R= , 收敛区间为 .,例6 幂级数 的收敛半径为_.,解 与 收敛半径求法一样,由于 ,可知,因此 ,故所给级数收敛半径为1.,二、 幂级数的性质,性质6 幂级数 的和函数S(x)在其收敛区间 (R,R)内为连续函数.,性质8.8 幂级数 的收敛半径为R,则其和函数S(x) 在其收敛区间(R,R)内是可导的,且有逐项求导公式:,收敛半径也是R.(注意上式两端和式符号的下标变 化!),若 与 的收敛区间分别为 与 ,和函数分别为S(x)与 ,则有下列性质4.,性质9 两幂级数 与 可以逐项相加,即 且 在区间(R,R)内收敛, 其中,例7 求 的收敛区间与和函数.,解 所给级数的系数 ,,因而收敛半径 ,收敛区间为(1,1).,由于 的收敛区间为(1,1),和 函数为 ,令所给级数在收敛区间(1,1)内的和函 数为S(x),即,则,因而当 时有,其中S(0)=0,所以,即,例8 求 的收敛区间与和函数.,解 所给级数 的系数,因此收敛半径 ,收敛区间为(1,1).,令所给级数在收敛区间(1,1)内的和函数为S(x), 即,故,即,则当 时有,
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