,第一章,二、复合函数运算法则,一、四则运算法则,第五节,极限运算法则,三、求极限方法,定理,证,由无穷小运算法则,得,1.5 极限的四则运算法则,一、四则运算法则,有界，,推论1,常数因子可以提到极限记号外面.,推论2,结论:,定理 （保序性） P46 定理5 保号性的推广,说明: 若定理中,则类似可得,定理. 设,且 x 满足,时,又,则有,意义：,变量代换,三、求极限方法举例,例1,解,注:,解,商的法则不能用,由无穷小与无穷大的关系,得,例2,注：无穷大与非零有限数之积仍是无穷大；,有限个无穷大之积仍是无穷大。,解,例3,(消去零因子法),例4 求极限,解:,（分子有理化）,例5 求极限,解：原式,（分子分母同时有理化）,请思考解题方法.,有理分式函数求极限小结：,（1）分母不等于零，直接用法则；,（2）分母等于零，分子不等于零，无穷大,（3）分母等于零，分子等于零，消去零因子， 极限有可能存在,无理分式函数求极限：,一般先有理化,然后求极限.,例6 求极限,解,通分,注：无穷大之代数和是未定型。,无穷大的商就是 ，也是未定型。,例7,解,(无穷小因子分出法),有理分式的极限小结:,2 无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除 分子,分母,以分出无穷小,然后再求极限.,1 “抓大头”:分子分母中只考虑最高次幂项,练习：,例8 求极限,解,有理化,“抓大头”,解,例10,解,左右极限存在且相等,小结,1.极限的四则运算法则、复合函数极限及其推论;,2.极限求法:,(3)利用无穷小运算性质求极限 (4)利用左右极限求分段函数极限.,(1) 分式函数极限求法,时, 用代入法,( 分母不为 0 ),时, 对,型 , 约去公因子,时,分子分母同除最高次幂,“抓大头”,(2) 复合函数极限求法,设中间变量,重点：运用极限的四则运算、复合函数的极限法则求极限,难点：求极限的一些技巧，极限不存在时的一些运算,思考题,1. 在某个过程中，若 有极限， 无极限，那么 是否有极限？ 是否有极限？为什么？,3. 试确定常数a使,2. 已知,，则（ ）,B 必有,C,都不一定存在,A 必有,D,4. 已知,在,的一个邻域内有界，若,，则必有（ ）,A,B,C 不能确定,D,极限不存在,5. 若,与,的极限均存在，则,的极限如何？（ ）,A 必存在 B 必不存在 C 不一定存在 D 极限必为零,思考题解答,假设,有极限，,由极限运算法则可知：,必有极限，,与已知矛盾，,故假设错误,1. 没有极限,有极限，,不一定有极限,极限不存在,如,2. 已知,C,都不一定存在,正确选项为,例如,当,时，极限均不存在。,3. 解 :,令,则,故,因此,4. 已知,在,的一个邻域内有界，若,，则必有（ ）,C 不能确定,极限不存在,正确选项为,例如,当,时，,当,时，,5. 若,与,的极限均存在，则,的极限如何？（ ）,A 必存在 B 必不存在 C 不一定存在 D 极限必为零,正确选项为C 不一定存在,例如,极限不存在,当,时，,作业：,P49 1（1、3、5、7、 10、12、14） 2（1、3），3， 4, 5,备用题 设,解:,利用前一极限式可令,再利用后一极限式 , 得,可见,是多项式 , 且,求,故,