第八章 多元函数微分学,小 结,一 基本要求,1 理解二元函数的概念，会求定义域. 2 了解二元函数的极限和连续的概念. 3 理解偏导数的概念，掌握偏导数及高阶偏导数的求法. 4 掌握多元复合函数的微分法. 5 了解全微分形式的不变性. 6 掌握隐函数的求导法.,7 会求曲线的切线及法平面，曲面的切平面及法线. 8 了解方向导数的概念和计算公式. 9 了解梯度的概念和计算方法以及梯度与方向导数之间的关系. 10 掌握多元函数无条件极值和条件极值的求法及最大（小）值的求法.,二 要点提示,（一）函数的概念,设 是一个点集，如果对于每一点 变量z按照一定的法则总有确定的 值和它对应，则称z是点P的函数，记为,注意 1.从一元函数推广 2.多元函数与一元函数的区别,1.点函数的定义：,当 时，,当 时，,为n元函数.,为三元函数；, ,当 时，,为二元函数；,当 时，,为一元函数；,2.多元初等函数： 由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成，可用一个式子所表示的函数，称为多元初等函数.,一切多元初等函数在其定义区域内是连续的.,1偏导数,（二）偏导数与全微分,（1）定义：偏导数是函数的偏增量与自变量 增量之比的极限.,（2）计算偏导数,求多元函数的偏导数实际上是一元函数的微分法问题，对一个变量求导，暂时将其余变量看作常数.,2全微分,全微分公式：,全微分定义：,的线性部分,？,可导 连续,一元函数：可导 函数可微,（三）多元函数连续偏导存在与可微 之间的关系,多元函数：,函数可微,偏导数连续,函数可微,多元函数连续、可偏导、可微的关系,函数可微,函数连续,偏导数连续,函数可偏导,（四）多元函数微分法,（1）链式法则 链式法则的实质是函数必须对中间变量求导。依据函数的复合结构，可按照“连线相乘，分线相加”的原则来进行.,1多元复合函数求导法,则 是x, y的复合函数.,设,称为全导数.,求多元复合函数偏导数的关键在于弄清 函数的复合结构,它可用“树形图”来表示.,注意：,2隐函数求导法：,设 是由方程 所确定的隐函数，则,方法2 隐函数的求导公式：,方法1 对方程两端求(偏)导数，然后解出 所求(偏)导数.,（五）微分法在几何上的应用,则曲线在点 处切向量为,是曲线上一点，其相应的参数为,（1）设空间曲线：,1空间曲线的切线及法平面,曲线在点 处的切线方程为,曲线在点 处的法平面方程为,若曲线的方程表示为,则在点 处切向量为,2曲面的切平面及法线,为曲面上一点,则曲面在点 处,的法向量为,（1）设曲面方程为（隐函数形式）,切平面方程为,法线方程为,（2）若曲面方程为（显函数形式）,曲面上 点的法向量为,则可写为隐函数形式,（六）方向导数与梯度,2计算公式：若 可微，则,其中 为 轴正向到方向 的转角,方向导数的定义,注意: 方向导数存在 偏导数存在,若 可微,则,3. 梯度：,设 在平面区域D内具有一阶连续偏导数，则对于每一点 ，向量,称为 在点 的梯度.,梯度与方向导数的关系： 梯度的方向与取得最大方向导数的方向 一致，而它的模为方向导数的最大值.,（七）函数的极值最大值和最小值,这时称 为驻点。,若 在点 处有极值，则,驻点不一定是极值点,1极值的必要条件：,是极小值；,2充分条件：,设 在驻点 的某邻域内有连续的二阶偏导数，记,(2) 当 时，不是极值；,(1) 当 时， 是极值;,(3) 当 时，不能确定.,是极大值；,3条件极值：,求拉格朗日函数,求条件极值的方法：,的极值.,如函数,下的极值称为条件极值.,在条件,(2) 用拉格朗日乘数法：,(1) 将条件代入函数,转化为无条件极值问题；,4函数的最大值和最小值,求函数在有界区域上的最大值和最小值的方法: 1.求出该函数在内的所有驻点和偏导数不存在的点的函数值; 2.求出在的边界上可能的最大值最小值; 3.比较大小，其中最大者就是最大值，最小者就是最小值.,在实际问题中往往可根据问题本身的性质 来判定驻点是否是最值点.,唯一驻点，最大（小）值必存在.,（一）求偏导数和全微分:,1. 求一阶偏导数及全微分.,典 型 例 题,解,可导,求,解,5. 设 的二阶偏导连续，求由方程,所确定的隐函数 的偏导数,解,令,由隐函数求导公式，有,故,而 是由方程,6. 设,所确定的函数，其中,都具有一阶连续偏导数，试证明,解1,函数 y对x求导：,？,隐函数 由 确定,解出,即得.,解2,由 确定，,隐函数,求,两边求全微分：,从 式解出,代入 式,得出,6.,即曲线 ，,法平面方程：,切线方程：,其切向量为,解 方程组 确定隐函数,在点 处的切线方程及法平面方程.,7.求曲线,（二）微分学的应用,所围成的四面体的体积为常数.,8.证明：曲面,解 曲面,在它上面任意一点,处法向量为,于是，曲面,在它上面任意一点,切平面方程为：,即,的切平面与坐标面,处的,易知，该切平面在,轴上的截距分别为：,则切平面与坐标面所围成的四面体的体积为,切平面方程为：,9.求,在点,处沿从点,到点,解 向量,的方向即是l的方向.,于是, 与l同向的单位向量,的方向的方向导数.,10.求,在点,解 由已知,有,在该点的梯度方向取得最大值，最大值即为,处的,方向导数的最大值.,梯度的模.,故最大值为,解,设,二阶可导，求,解,其中,