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江苏省2020年普通高等学校招生全国统一考试冲刺模拟试题第I卷(必做题)注意事项:1答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。4测试范围:高中全部内容。一、填空题1已知集合,集合,若,则实数_2已知复数为纯虚数,其中为虚数单位,则实数的值是_.3阅读如图所示的程序框,若输入的n是30,则输出的变量S的值是_.4函数的定义域是_5在某次数学测验中,位学生的成绩如下:、,他们的平均成绩为,则他们成绩的方差等于_.6某校开设5门不同的选修课程,其中3门理科类和2门文科类,某同学从中任选2门课程学习,则该同学“选到文科类选修课程”的概率为_.7在平面直角坐标系中,已知点是抛物线与双曲线的一个交点.若抛物线的焦点为,且,则双曲线的渐近线方程为_8设an是由正数组成的等比数列,Sn为其前n项和,已知a2a4=1,S3=7,则S5=_.9已知,是球的球面上的四点,两两垂直,,且三棱锥的体积为,则球的表面积为_10若点是曲线上任意一点,则点到直线的距离的最小值为_11已知且满足1,则的最小值为_.12已知C是以AB为直径的半圆上一点,且C是线段PQ的中点,若AB=5,PQ=1,与的夹角为,则_.13已知是第二象限角,且,则的值为_14已知函数,若函数恰好有2个不同的零点,则实数m的取值范围是_.二、解答题15在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,.(1)若面积为,求ab的值;(2)若,求.16如图,在四棱锥中,四边形ABCD为平行四边形,E为侧棱PD的中点,O为AC与BD的交点(1)求证:平面PBC;(2)若平面平面ABCD,求证:17已知椭圆过点,且离心率(1)求椭圆方程;(2)若直线与椭圆交于不同的两点,且线段的垂直平分线过定点,求的取值范围18两城市和相距,现计划在两城市外以为直径的半圆上选择一点建造垃圾处理场,其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关,对城和城的总影响度为城和城的影响度之和,记点到城的距离为,建在处的垃圾处理场对城和城的总影响度为,统计调查表明:垃圾处理场对城的影响度与所选地点到城的距离的平方成反比,比例系数为4,对城的影响度与所选地点到城的距离的平方成反比,比例系数为,当垃圾处理场建在的中点时,对城和城的总影响度为0.065;(1)将表示成的函数;(2)判断上是否存在一点,使建在此处的垃圾处理场对城和城的总影响度最小?若存在,求出该点到城的距离;若不存在,说明理由;19设函数(其中为实数).(1)若,求零点的个数;(2)求证:若不是的极值点,则无极值点.20给定数列,记该数列前项中的最大项为,该数列后项, .,中的最小项为,.(1)对于数列:3,4,7,1,求出相应的,;(2)是数列的前项和,若对任意,有,其中且,设,判断数列是否为等比数列;若数列对应的满足:对任意的正整数恒成立,求的取值范围.第II卷(附加题)21已知矩阵,列向量.(1)求矩阵;(2)若,求,的值.22在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)写出曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程;(2)已知点是曲线上的动点,求点到曲线的最小距离.23已知函数,(1)当时,求不等式的解集;(2)若不等式的解集包含1,1,求的取值范围24设.已知(1)求的值;(2)求的值.25口袋中有大小、形状、质地相同的两个白球和三个黑球现有一抽奖游戏规则如下:抽奖者每次有放回的从口袋中随机取出一个球,最多取球2n1(n)次若取出白球的累计次数达到n1时,则终止取球且获奖,其它情况均不获奖记获奖概率为(1)求;(2)证明:江苏省2020年普通高等学校招生全国统一考试冲刺模拟试题解析1【解析】由,解得,验证可得符合集合元素的互异性,故答案为:22【解析】由题,因为是纯虚数,所以,则,故答案为:23【解析】执行程序框图,有,;不满足条件,;不满足条件,;不满足条件,;不满足条件,;不满足条件,;满足条件,退出循环,输出.4【解析】, 解得且即函数的定义域为, 故答案为:538【解析】位学生的成绩如下:78、85、82、69,他们的平均成绩为80,解得:,则他们成绩的方差等于38.故答案为:386【解析】某校开设5门不同的选修课程,其中3门理科类和2门文科类,某同学从中任选2门课程学习,基本事件总数为,该同学恰好“选到文科类选修课程”包含的基本事件个数为.该同学“选到文科类选修课程”的概率是.故答案为:.7【解析】设点A(x,y),因为x-(-1)=5,所以x=4.所以点A(4,4),由题得所以双曲线的渐近线方程为.故答案为8【解析】an是由正数组成的等比数列,且a2a4=1,设an的公比为q,则q0,且,即a3=1.S3=7,a1a2a3=1=7,即6q2q1=0.故q=或q=(舍去),a1=4.S5=8(1)=.9【解析】三棱锥的体积为,故,因为,两两垂直,故可把三棱锥补成正方体,该正方体的体对角线为三棱锥外接球的直径,又体对角线的长度为,故球的表面积为.10【解析】因为点P是曲线上任意一点,则点P到直线的距离的最小值是过点P的切线与直线平行的时候,则,即点(1,1)那么可知两平行线间的距离即点(1,1)到直线的距离为11ln2【解析】因为,所以可将,分别看成函数与上任意一点,问题转化为曲线上的动点与直线上的动点之间的最小值的平方问题,设是曲线的切点,因为,故点M处的切斜的斜率,由题意可得,解得,也即当切线与已知直线平行时,此时切点到已知直线的距离最近,最近距离,也即.12;【解析】由C是以AB为直径的半圆上一点,且C是线段PQ的中点,且与的夹角为,可得,且则.13【解析】 是第二象限角,且,又,解得,14【解析】令函数,得,结合函数的图象知当时,函数的图象与直线恰好有2个不同的交点,所以.15【解析】(1)因为,在中,由正弦定理,得,化简得,在中,由余弦定理得,因为,所以,又面积为,可得,所以ab=4.(2)因为,在中,由正弦定理,所以,因为,所以由(1)得,所以,化简得,所以.因为,所以,所以,所以16【解析】(1)因为四边形为平行四边形,为与的交点,所以为的中点.又因为为侧棱的中点,所以.又因为平面,平面,所以平面.(2)在中,因为,由正弦定理,可得,所以,即.又因为四边形为平行四边形,所以,所以.又因为平面平面,平面平面,平面,所以平面.又因为平面,所以.17【解析】(1)椭圆的离心率,即;又椭圆过点,由得,椭圆的方程为(2)由消去整理得,直线与椭圆交于不同的两点,整理得(1),设,弦MN的中点A,则,点A的坐标为,直线AG的斜率为,又直线AG和直线MN垂直,将上式代入(1)式,可得,整理得,解得实数的取值范围为18【解析】(1)由题意得,又当时,.(2), 令,则,当且仅当,即时,等号成立,弧上存在一点,使建在此处的垃圾处理场对城和城的总影响度最小.19【解析】(1)由题意得,所以,又,且,所以恒成立,从而函数在上单调递增,所以当时,;当时,.则函数在上单调递减,在上单调递增,因为,函数在上单调递减且图象连续不断,所以函数在上恰有个零点, 因为,函数在上单调递增且图象连续不断,所以函数在上恰有个零点,综上所述,当时,函数有个零点;(2)由(1)知,当时,函数在上单调递增,又,当时,;当时,.所以,是函数的极小值点.同理当时,也是函数的极小值点.当时,由得,且在上单调递增.所以当时,;当时,从而函数在上单调递减;在上单调递增.若,即,则当时,当时,则是函数的极值点; 同理若,即,则也是函数的极值点;若,即,则函数在上单调递增,此时不是函数的极值点.综上可知,若不是函数的极值点,则,函数在上单调递增,从而函数无极值点.20【解析】(1),;,;,.(2)当时,所以;当时,由,则,两式相减得,即,所以.因为,所以当时,故,所以数列满足,即数列是以为首项,为公比的等比数列;当时,故,数列不是等比数列.由知,当时,;当时,.又,由于,所以由,可得,.所以对任意的正整数恒成立,即数列的前项单调递增是题设成立的必要条件,易知.因为,所以.当时,由,得,解得,此时,不符合,舍去;当,由,得,解得,此时,符合.综上所述,的取值范围是.21【解析】(1);(2)由,解得 ,又因为,所以,.22【解析】(1)消去参数得到,故曲线的普通方程为,由,得到,即,故曲线的普通方程为(2)设点的坐标为,点到曲线的距离所以,当时,的值最小,所以点到曲线的最小距离为.23【解析】(1)当时,不等式等价于.当时,式化为,无解;当时,式化为,从而;当时,式化为,从而.所以的解集为.(2)当时,.所以的解集包含,等价于当时.又在的最小值必为与之一,所以且,得.所以的取值范围为.24【解析】(1)令得,;令得,所以,则.(2)对两边求导得令,得25【解析】(1)根据题意,每次取出的球是白球的概率为,取出的球是黑球的概率为,所以;(2)证明:累计取出白球次数是的情况有:前n次取出n次白球,第n+1次取出的是白球,概率为前n+1次取出n次白球,第n+2次取出的是白球,概率为前2n1次取出n次白球,第2n次取出的是白球,概率为前2n次取出n次白球,第2n+1次取出的是白球,概率为则因此则因为,所以,因此 17
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