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2019年高考理科数学考前30天-计算题专训(八)17(本小题满分12分)已知的面积为,且,(1)若的图象与直线相邻两个交点间的最短距离为2,且,求的面积;(2)求的最大值【答案】(1);(2)【解析】(1)的图象与直线相邻两个交点间的最短距离为,即:,解得,即:,是的内角,又,设的三个内角的对边分别为,从而是直角三角形,由已知得,从而,(2)由(1)知,设的外接圆半径为,则,解得,故的最大值为18(本小题满分12分)如图:已知平面平面,平面平面,为等边三角形,是线段上的动点(1)求证:平面平面;(2)求直线与平面所成角的最大值;(3)是否存在点,使得?请说明理由【答案】(1)见解析;(2);(3)不存在【解析】(1)平面平面,在平面内作,则平面,同理,在平面内作,则平面,即,重合,平面,取中点,连结,以为原点,为轴正方向建立坐标系,则,可得平面的法向量为,设面的一个法向量为,则,可得,从而,平面平面(2)设,则,设面的一个法向量为,则,可得设直线与面所成角为,则,所以,从而直线与平面所成角的最大值为(3)由(2)知,则,故不存在点,使得19(本小题满分12分)2016年国家已全面放开“二胎”政策,但考虑到经济问题,很多家庭不打算生育二孩,为了解家庭收入与生育二孩的意愿是否有关,现随机抽查了某四线城市50个一孩家庭,他们中有二孩计划的家庭频数分布如下表:家庭月收入(单位:元)2千以下2千5千5千8千8千1万1万2万2万以上调查的总人数510151055有二孩计划的家庭数129734(1)由以上统计数据完成如下22列联表,并判断是否有95%的把握认为是否有二孩计划与家庭收入有关?说明你的理由收入不高于8千的家庭数收入高于8千的家庭数合计有二孩计划的家庭数无二孩计划的家庭数合计(2)若二孩的性别与一孩性别相反,则称该家庭为“好字”家庭,设每个有二孩计划的家庭为“好字”家庭的概率为,且每个家庭是否为“好字”家庭互不影响,设收入在8千1万的3个有二孩计划家庭中“好字”家庭有个,求的分布列及数学期望下面的临界值表供参考:【答案】(1)见解析;(2);【解析】(1)依题意得:,;收入不高于8千的家庭数收入高于8千的家庭数合计有二孩计划的家庭数121426无二孩计划的家庭数18624合计302050,因此有95%的把握认为是否有二孩计划与家庭收入有关(2)由题意知,的可能取值为0,1,2,3;,的分布列为:012320(本小题满分12分)在平面直角坐标系中,椭圆的离心率为,直线被椭圆截得的线段长为(1)求椭圆的方程;(2)直线是圆的任意一条切线,与椭圆交于、两点,若以为直径的圆恒过原点,求圆的方程,并求出的取值范围【答案】(1);(2)圆的方程为,的取值范围是【解析】(1),设直线与椭圆交于,两点不妨设点为直线和椭圆在第一象限的交点,又弦长为,又,解得,椭圆方程为(2)(i)当切线的斜率不存在时,设(或),代入椭圆方程得:,以为直径的圆恒过原点,圆的方程为,此时(同理当时,上述结论仍然成立)(ii)当切线的斜率存在时,设方程为:,与圆相切,即,将直线方程代入椭圆方程并整理得:设,则,是方程的两个解,由韦达定理得:,以为直径的圆恒过原点,又,此时,代入式后成立,圆的方程为,此时:i)若,则,ii)若,则综上,圆的方程为,的取值范围是21(本小题满分12分)已知,且曲线在点处的切线斜率为1(1)求实数的值;(2)设在其定义域内有两个不同的极值点,且,已知,若不等式恒成立,求的范围【答案】(1);(2)【解析】(1),由题意知,即:,解得(2)因为等价于由题意可知,分别是方程即的两个根,即,所以原式等价于,因为,所以原式等价于又由,作差得,即所以原式等价于,因为,原式恒成立,即恒成立令,则不等式在上恒成立令,又,当时,可见时,所以在上单调增,又,在恒成立,符合题意当时,可见时,时,所以在时单调增,在时单调减,又,所以在上不能恒小于0,不符合题意,舍去综上所述,若不等式恒成立,只须,又,所以
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