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选修4-4 坐标系与参数方程1.(2014安徽,4)以平面直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线l的参数方程是(t为参数),圆C的极坐标方程是4cos ,则直线l被圆C截得的弦长为()A. B.2 C. D.21.D由消去t得xy40,C:4cos 24cos ,C:x2y24x,即(x2)2y24,C(2,0),r2.点C到直线l的距离d,所求弦长22.故选D.2.(2014北京,3)曲线(为参数)的对称中心()A.在直线y2x上 B.在直线y2x上 C.在直线yx1上 D.在直线yx1上2.B曲线(为参数)的普通方程为(x1)2(y2)21,该曲线为圆,圆心(1,2)为曲线的对称中心,其在直线y2x上,故选B.3.(2014江西,11(2)若以直角坐标系的原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,则线段y1x(0x1)的极坐标方程为()A.,0B.,0C.cos sin ,0D.cos sin ,03. Ay1x化为极坐标方程为cos sin 1,即.0x1,线段在第一象限内(含端点),0.故选A.4(2018天津,12)已知圆x2+y22x=0的圆心为C,直线x=1+22t,y=322t(t为参数)与该圆相交于A,B两点,则ABC的面积为_.4.12 由题意可得圆的标准方程为:x12+y2=1,直线的直角坐标方程为:y3=x+1,即x+y2=0,则圆心到直线的距离:d=1+022=22,由弦长公式可得:AB=21222=2,则SABC=12222=12.5(2018北京,10)在极坐标系中,直线cos+sin=a(a0)与圆=2cos相切,则a=_5.1+2 因为2=x2+y2,x=cos,y=sin,由cos+sin=a(a0),得x+y=a(a0),由=2cos,得2=2cos,即x2+y2=2x,即(x1)2+y2=1,因为直线与圆相切,所以|1a|2=1,a=12,a0,a=1+2.6.(2017北京,11)在极坐标系中,点A在圆22cos4sin+4=0上,点P的坐标为(1,0),则|AP|的最小值为_ 6.1 设圆22cos4sin+4=0为圆C,将圆C的极坐标方程化为:x2+y22x4y+4=0,再化为标准方程:(x1)2+(y2)2=1;如图,当A在CP与C的交点Q处时,|AP|最小为:|AP|min=|CP|rC=21=1,故答案为:17.(2017天津,11)在极坐标系中,直线4cos( )+1=0与圆=2sin的公共点的个数为_ 7.2 直线4cos( )+1=0展开为:4 +1=0,化为:2 x+2y+1=0圆=2sin即2=2sin,化为直角坐标方程:x2+y2=2y,配方为:x2+(y1)2=1圆心C(0,1)到直线的距离d= = 1=R直线4cos( )+1=0与圆=2sin的公共点的个数为2故答案为:28.(2016北京,11)在极坐标系中,直线cos sin 10与圆2cos 交于A,B两点,则|AB|_.8.2 直线的直角坐标方程为xy10,圆的直角坐标方程为x2y22x,即(x1)2y21.圆心坐标为(1,0),半径r1.点(1,0)在直线xy10上,所以|AB|2r2.9.(2015广东,14)已知直线l的极坐标方程为2sin,点A的极坐标为A,则点A到直线l的距离为_.9.依题已知直线l:2sin和点A可化为l:x-y+10和A(2,-2),所以点A到直线l的距离为d.10.(2015北京,11)在极坐标系中,点到直线(cos sin )6的距离为_.10.1在平面直角坐标系下,点化为(1,),直线方程为:xy6,点(1,)到直线的距离为d1.11.(2015安徽,12)在极坐标系中,圆8sin 上的点到直线(R)距离的最大值是_.11.6由8sin 得x2y28y,即x2(y4)216,由得yx,即xy0,圆心(0,4)到直线yx的距离为2,圆8sin 上的点到直线的最大距离为426.12.(2015重庆,15)已知直线l的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为2cos 24,则直线l与曲线C的交点的极坐标为_.12.(2,)直线l的直角坐标方程为yx2,由2cos 24得2(cos2sin2)4,直角坐标方程为x2y24,把yx2代入双曲线方程解得x2,因此交点为(-2,0),其极坐标为(2,).13.(2014湖北,16)已知曲线C1的参数方程是(t为参数).以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程是2.则C1与C2交点的直角坐标为_.13.(,1)曲线C1为射线yx(x0).曲线C2为圆x2y24.设P为C1与C2的交点,如图,作PQ垂直x轴于点Q.因为tanPOQ,所以POQ30,又OP2,所以C1与C2的交点P的直角坐标为(,1).14.(2014重庆,15)已知直线l的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为sin24cos 0(0,02),则直线l与曲线C的公共点的极径_.14.直线l的普通方程为yx1,曲线C的直角坐标方程为y24x,故直线l与曲线C的交点坐标为(1,2).故该点的极径.15.(2014天津,13)在以O为极点的极坐标系中,圆4sin 和直线sin a相交于A,B两点.若AOB是等边三角形,则a的值为_.15.3圆的直角坐标方程为x2y24y,直线的直角坐标方程为ya,因为AOB为等边三角形,则A(,a),代入圆的方程得a24a,故a3.16.(2014湖南,11)在平面直角坐标系中,倾斜角为的直线l与曲线C:(为参数)交于A,B两点,且|AB|2.以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,则直线l的极坐标方程是_.16.cos1曲线C的普通方程为(x2)2(y1)21,由直线l与曲线C相交所得的弦长|AB|2知,AB为圆的直径,故直线l过圆心(2,1),注意到直线的倾斜角为,即斜率为1,从而直线l的普通方程为yx1,从而其极坐标方程为sin cos 1,即cos1.17.(2014广东,14)在极坐标系中,曲线C1和C2的方程分别为sin2cos 和sin 1.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线C1和C2交点的直角坐标为_.17.(1,1)由sin2cos 得2sin 2cos ,其直角坐标方程为y2x,sin 1的直角坐标方程为y1,由得C1和C2的交点为(1,1).18(2018全国,22)选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为y=kx+2.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为2+2cos3=0.(1)求C2的直角坐标方程;(2)若C1与C2有且仅有三个公共点,求C1的方程.18.(1)由x=cos,y=sin得C2的直角坐标方程为(x+1)2+y2=4(2)由(1)知C2是圆心为A(-1,0),半径为2的圆由题设知,C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线记y轴右边的射线为l1,y轴左边的射线为l2由于B在圆C2的外面,故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点,或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点当l1与C2只有一个公共点时,A到l1所在直线的距离为2,所以|-k+2|k2+1=2,故k=-43或k=0经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;当k=-43时,l1与C2只有一个公共点,l2与C2有两个公共点当l2与C2只有一个公共点时,A到l2所在直线的距离为2,所以|k+2|k2+1=2,故k=0或k=43经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;当k=43时,l2与C2没有公共点 综上,所求C1的方程为y=-43|x|+219(2018全国,22)选修44:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为x=2cos,y=4sin(为参数),直线l的参数方程为x=1+tcos,y=2+tsin(t为参数).(1)求C和l的直角坐标方程; (2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2),求l的斜率19.(1)曲线C的直角坐标方程为x24+y216=1当cos0时,l的直角坐标方程为y=tanx+2-tan,当cos=0时,l的直角坐标方程为x=1(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程,整理得关于t的方程(1+3cos2)t2+4(2cos+sin)t-8=0因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内,所以有两个解,设为t1,t2,则t1+t2=0又由得t1+t2=-4(2cos+sin)1+3cos2,故2cos+sin=0,于是直线l的斜率k=tan=-220(2018全国,22)选修44:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中,O的参数方程为x=cos,y=sin(为参数),过点0,2且倾斜角为的直线l与O交于A,B两点(1)求的取值范围;(2)求AB中点P的轨迹的参数方程20.(1)O的直角坐标方程为x2+y2=1当=2时,l与O交于两点当2时,记tan=k,则l的方程为y=kx-2l与O交于两点当且仅当|21+k2|1,解得k1,即(4,2)或(2,34)综上,的取值范围是(4,34)(2)l的参数方程为x=tcos,y=-2+tsin(t为参数,434 )设A,B,P对应的参数分别为tA,tB,tP,则tP=tA+tB2,且tA,tB满足t2-22tsin+1=0于是tA+tB=22sin,tP=2sin又点P的坐标(x,y)满足x=tPcos,y=-2+tPsin.所以点P的轨迹的参数方程是x=22sin2,y=-22-22cos2 (为参数,434 )21.
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