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25.3 用频率估计概率,(1)在一次试验中,如果可能出现的结果只有有限个,且各种结果出现的可能性大小相等,那么我们可以通过列举试验结果的方法,求随机事件的概率 (2)我们常用列表和树状图两种方法列举试验的结果,以旧引新,探究一:通过频率估计概率,活动1,周末,在我市体育馆有一场精彩的篮球比赛,但是老师手里只有一张票,作为篮球迷的小强和小明都想去,这样老师很为难请大家帮老师想一个公平的办法,来决定把这张票给谁,重点、难点知识,有这么多可用的方法,那现在我们从中抽选出掷硬币的方法,抓阄、抽签、猜拳、掷硬币、,为什么要用掷硬币的方法呢? 掷硬币公平,能保证小强和小明得到球票的可能性一样大,探究一:通过频率估计概率,重点、难点知识,用掷硬币的方法分配球票是一个随机事件,尽管事先不能确定结果是“正面向上”还是“反面向上”,但大家很容易感受到这两种随机事件的发生的可能性是一样,各为0.5,所以对于小强和小明来说这个方法是公平的 但是,我们的直觉是可靠的吗? 掷硬币出现“正面向上”和“反面向上”的可能性真的是相等的吗? 有什么方法可以验证呢?,掷硬币,观察随着抛掷次数的增加,“正面向上”的频率 的变化趋势. 课前,我们每个同学都进行了掷硬币的试验,并计算了“正面向上”的频率,你有什么发现呢? 汇总你们小组的抛掷数据你又有什么发现呢? 如果将我们全班的数据统计起来又能发现什么呢?,大胆操作,探究新知,探究一:通过频率估计概率,活动2,重点、难点知识,根据数据生成折线统计图:,探究一:通过频率估计概率,重点、难点知识,随着试验次数的增加,“正面向上”的频率 有什么规律?,试验次数比较小时,频率 波动比较大,但试验次数较大时,频率 比较稳定.,随着试验次数的增大,频率 稳定在0.5的附近.,探究一:通过频率估计概率,重点、难点知识,掷图钉,观察随着抛掷次数的增加,“针尖向上”的频率 的变化趋势,探究一:通过频率估计概率,活动3,重点、难点知识,可能有同学会觉得老师用大量重复试验的方法得到掷一枚硬币出现“正面向上”的概率未免也太大费周章了,而且最终还只是一个概率的近似值! 谁都知道掷一枚硬币出现“正面向上”的概率为0.5,那么这种用试验的方法求随机事件的概率还有什么优点呢?,大家知道随机抛掷一枚图钉出现“针尖向上”的概率是多少吗? 有的同学回答“针尖向上”概率为0.5,其实由于图钉不是均匀物体,所以“针尖向上”和“针尖向下”两种事件的结果出现的可能性不一样大. 你能想办法得到“针尖向上”的概率吗?,探究一:通过频率估计概率,重点、难点知识,类似抛掷硬币的活动,通过大量重复试验的频率估计“针尖向上”的概率,根据数据生成折线统计图:,探究一:通过频率估计概率,重点、难点知识,随着试验次数的增加,“针尖向上”的频率 有什么规律?,试验次数比较小时,频率 波动比较大,但试验次数较大时,频率 比较稳定.,随着试验次数的增大,频率 稳定在的附近.,探究一:通过频率估计概率,重点、难点知识,总结: (1)随机事件在一次试验中是否发生不能事先确定,但是在大量重复试验中,一个事件发生的频率总在一个固定的数的附近摆动,显示出一定的稳定性,这个固定的数就是随机事件发生的概率,因此我们可以通过大量的重复试验,用一个随机事件发生的频率去估计它的概率 (2)概率与频率之间是有区别和联系的: 区别:频率是个试验值,试验结果不相同频率也就不相同,频率只能近似地反映事件发生的可能性的大小;而概率是一个理论值,是由事件的本质决定的,其大小是个固定值,概率能精确的反映事件发生的可能性的大小,探究一:通过频率估计概率,重点、难点知识,联系:可以通过大量的重复试验,用一个随机事件发生的频率去估计它的概率 (3)用试验法通过频率估计概率的方法可以不受“各种结果出现的可能性相等”的条件限制,使得可求概率的随机事件的范围扩大,探究一:通过频率估计概率,重点、难点知识,例1 一个袋子中有两个黄球,三个白球,它们除颜色外均相同,小明随机从袋子中摸出一个球,恰好摸到了一个白球,则下列说法正确的是( ) A小明从袋子中取出白球的概率是1 B小明从袋子中取出黄球的概率是0 C这次试验中,小明取出白球的频率是1 D由这次试验的频率可以去估计取出白球的概率是1,基础性例题,探究二:频率估计概率在生活实际问题中的应用,活动1,解:A小明从袋子中取出白球的概率是 ,故A选项错误; B小明从袋子中取出黄球的概率是 ,故B选项错误; C这次试验里,一共摸了1次球,恰好是白球,所以这次试验中,小明取出白球的频率是1,故C选项正确; D仅进行了一次试验,试验次数太少,频率不能估计概率,故D选项错误 【思路点拨】本题需理清频率与概率的关系,概率是一个理论值,是由事件的本质决定的,其大小是个固定值;频率是个试验值,试验结果不相同频率也就不相同在大量重复试验中,一个事件发生的频率总在一个固定的数的附近摆动,显示出一定的稳定性, 这个固定的数就是随机事件发生的概率,因此我们可以通过大量的重复试验,用一个随机事件发生的频率去估计它的概率不能将频率、概率混为一谈,探究二:频率估计概率在生活实际问题中的应用,练习 已知抛一枚普通硬币掷得反面向上的概率为 ,它表示( ) A连续抛掷硬币两次,一定是一次正面朝上,一次反面朝上 B每抛掷硬币两次,就一定有一次反面朝上 C连续抛掷硬币200次,一定会出现100次反面朝上 D大量反复掷硬币,平均每两次会出现一次反面朝上,解:A掷两次硬币,偶然性较大,不一定是一次正面朝上,一次反面朝上,故A选项错误; B每抛掷硬币两次偶然性较大,不一定有一次反面朝上,故B选项错误; C连续抛掷硬币200次,试验次数较大,会出现100次左右的反面朝上,但也不能确定是100次,故C选项错误; D大量反复掷硬币,出现反面朝上的频率应该会稳定在0.5的附近,即平均每两次会出现一次反面朝上,故D选项正确,探究二:频率估计概率在生活实际问题中的应用,例2 小颖和小红两位同学在学习“概率”时,做投掷骰子(质地均匀的正方体)试验,她们共做了60次试验,试验的结果如下表:,(1)计算“3点朝上”的频率和“5点朝上”的频率; (2)小颖说:“根据试验,一次试验中出现5点朝上的概率最大” 小红说:“如果投掷600次,那么出现6点朝上的次数正好是100次” 小颖和小红的说法正确吗?为什么?,探究二:频率估计概率在生活实际问题中的应用,例2 小颖和小红两位同学在学习“概率”时,做投掷骰子(质地均匀的正方体)试验,她们共做了60次试验,试验的结果如下表:,(1)计算“3点朝上”的频率和“5点朝上”的频率;,解:(1)“3点朝上”出现的次数是8次, “3点朝上”的频率是 ; 又“5点朝上”出现的次数是15次, “5点朝上”的频率是 .,探究二:频率估计概率在生活实际问题中的应用,解:(2)小颖和小红的说法都不正确. 但是由于60次试验次数较小,频率并不一定稳定在概率的附近,不能直接将此时的频率当成概率,因此小颖的说法是错误的 如果掷600次,虽然试验次数较大,但频率也只是稳定在概率 的附近,约为100次,不一定正好是100次,因此小红的说法也是错误的,【思路点拨】本题一定要弄清频率与概率的关系,理解它们的区别与联系:频率不能简单等同于概率,但试验次数较大时,频率稳定在概率的附近, 因此可以用反复试验后的频率估计概率,探究二:频率估计概率在生活实际问题中的应用,练习 为了看一种图钉落地后针尖着地的概率有多大,小明和小华做了多次试验,并将结果记录在下表:,(1)分别计算抛掷次数为50次和200次时,针尖着地的频率; (2)根据计算结果,小明认为:“抛掷这种图钉,针尖着地的概率大约是0.45”,小华认为:“每抛掷100次这种图钉,一定出现45次针尖着地”你认为他们的说法正确吗?为什么?,探究二:频率估计概率在生活实际问题中的应用,解:(1)抛掷50次时,“针尖着地”的频数是23, “针尖着地”的频率是 ; 又抛掷200次时,“针尖着地”的频数是89, “针尖着地”的频率是 . (2)小明的说法正确,因为根据表格中频率的变化趋势,当试验次数增加时,频率稳定在0.45的附近,因此可以估计抛掷这种图钉,针尖着地的概率大约是0.45; 小华的说法错误,因为抛掷这种图钉,针尖着地的概率大约是0.45,所以每抛掷100次这种图钉,只能说大约出现45次针尖着地,不能说一定是45次,探究二:频率估计概率在生活实际问题中的应用,例1 下表是某机器人做9999次“抛硬币”游戏时记录下的出现正面朝上的频数和频率.,(1)由这张频数和频率表可知机器人抛掷完5次时,得到_次正面朝上,正面朝上出现的频率是_ (2)由这个频数和频率表可知机器人抛掷完9999次时,得到次正面朝上,正面朝上出现的频率约是 (3)观察上面表格中频率的变化趋势,你能发现什么?,提升型例题,探究二:频率估计概率在生活实际问题中的应用,活动2,解:(1)直接根据表格中的数据可知,机器人抛掷完5次时,有1次正面朝上,正面朝上的频率是20%; (2)直接根据表格中的数据可知,机器人抛掷完9999次时,有5006次正面朝上,正面朝上的频率是50.1%; (3)观察频率的变化趋势发现:当机器人抛掷次数较小时,出现正面朝上的频率波动较大;当机器人抛掷次数较大时,出现正面朝上的频率比较稳定,稳定在50%的附近 【思路点拨】试验次数较大时的频率具有稳定性,探究二:频率估计概率在生活实际问题中的应用,练习 一粒木质中国象棋子“兵”,它的正面雕刻一个“兵”字,它的反面是平的将它从一定高度下掷,落地反弹后可能是“兵”字面朝上,也可能是“兵”字面朝下由于棋子的两面不均匀,为了估计“兵”字面朝上的概率,某实验小组做了棋子下掷实验,实验数据如下表:,(1)请你数据表补充完整; (2)如果实验继续进行下去,根据上表的数据,这个实验的频率将稳定在它的概率附近,请你估计这个概率是多少?,探究二:频率估计概率在生活实际问题中的应用,解:(1)试验总次数为40,而“兵”字面朝上的频率为0.45, “兵”字面朝上的频数400.4518 又试验总次数为120,而“兵”字面朝上的频数为66, “兵”字面朝上的频率661200.55 (2)观察表格中频率的变化趋势,随着试验次数的增加,“兵”字面朝上的频率逐渐稳定在0.55的附近,因此估计“兵”字面朝上的概率为0.55,探究二:频率估计概率在生活实际问题中的应用,例2 在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全相同的球,这a个球中只有3个红球若每次将球充分搅匀后,任意摸出1个球记下颜色再放回盒子,通过大量重复试验后,发现摸到红球的频率稳定在20%左右,则a的值大约为_ 解:由于通过大量重复试验后,发现摸到红球的频率稳定在20%左右, 所以,摸到红球的概率就为20% 因为,一共有a个除颜色外完全相同的球,其中只有3个红球 所以,摸到红球的概率为 解得:a15 所以,a的值为15 【思路点拨】抓住等可能性随机事件概率既可以通过大量重复试验得到,也可以通过古典概型的计算公式得到,探究二:频率估计概率在生活实际问题中的应用,练习 为了估计暗箱里白球的数量(箱内只有白球),将5个红球放进去,随机摸出一个球,记下颜色后放回,搅匀后再摸出一个球记下颜色,多次重复后发现红球出现的频率约为0.2,那么可以估计暗箱里白球的数量大约为_个,解:因为多次重复后发现红球出现的频率约为0.2, 所以,摸到红球的概率就为0.2 设一共有x个白球,其中有5个红球,所以一共有(x5)个球, 所以,摸到红球的概率为 0.2 解得:x20 所以,有20个白球,探究二:频率估计概率在生活实际问题中的应用,例1 某园林公司要考察某种幼苗在一定条件下的移植存活率,应采用什么具体做法? (1)如图是一张模拟统计表,请补全表中的空缺,并完成表下的填空:,探究型例题,探究二:频率估计概率在生活实际问题中的应用
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