第四章第四章: 频率响应分析法频率响应分析法 频率响应：系统对正玄信号的稳态响应。 频率响应的优点 频率响应：系统对正玄信号的稳态响应。 频率响应的优点:(1) 物理意义明确；物理意义明确；(2) 可以用试验方法求出系统的数 学模型 可以用试验方法求出系统的数 学模型,易于研究机理复杂或不明的系统；易于研究机理复杂或不明的系统；(3) 可根据开环频率特性研究 闭环系统的性能； 可根据开环频率特性研究 闭环系统的性能；(4) 采用作图方法采用作图方法,非常直观；非常直观；(5)当某些频率范围内有 严重干扰时，用频率响应方法易于设计出性能满意的系统。 定义 当某些频率范围内有 严重干扰时，用频率响应方法易于设计出性能满意的系统。 定义4.1 系统在正玄输入信号作用下，系统输出响应中与输入信号同 频率的正玄函数分量和输入正玄信号的复数比，称为该系统的频率特性 函数，记作 如果系统的传递函数已知，可以 令 系统在正玄输入信号作用下，系统输出响应中与输入信号同 频率的正玄函数分量和输入正玄信号的复数比，称为该系统的频率特性 函数，记作 如果系统的传递函数已知，可以 令s=jw,即即s在虚轴上变化时，就得到 频率特性函数 在虚轴上变化时，就得到 频率特性函数: )( )( )( jR jY jG= 微分方程 控制系统 传递函数频率特性 d/dt sjw s jw d/dt js sGjG = =)()( 频率特性函数的表示方法：频率特性函数的表示方法： 1.代数式代数式 G(jw)=R( (w)+)+jI(w) R( (w)为特性函数的实频特性，)为特性函数的实频特性，I(w)为特性函数的虚频特性。为特性函数的虚频特性。 2. 指数式指数式 A( )=|G(jw)|:幅频特性函数幅频特性函数 ( )=argG(jw): 相频特性函数 代数式和指数式表示方法的关系 相频特性函数 代数式和指数式表示方法的关系: R(w)=A(w)cos ( ) I(w)=A(w)sin ( ) )( )()( j eAjG= )()()( 22 IRA+= )( )( arctan)( R I = 在工程实践中，频率特性函数有多种图示方法，如极坐标图、对数频率在工程实践中，频率特性函数有多种图示方法，如极坐标图、对数频率 特性图、对数幅相特性图，以及幅频特性图、相频特性图、实频特性图和特性图、对数幅相特性图，以及幅频特性图、相频特性图、实频特性图和 虚频特性图等等。应用中最为广泛的是对数频率特性图和极坐标图。虚频特性图等等。应用中最为广泛的是对数频率特性图和极坐标图。 第一节：对数频率特性图第一节：对数频率特性图 1.对数频率特性图对数频率特性图 对数频率特性图又称伯德对数频率特性图又称伯德(Bode)图，由对数幅频特性图和相频特性图组图，由对数幅频特性图和相频特性图组 成的。成的。 横坐标为角频率，按常用对数横坐标为角频率，按常用对数lg分度进行绘制。分度进行绘制。 对数幅频特性的纵坐标为对数幅值对数幅频特性的纵坐标为对数幅值: L( )=20lgA( ), 单位为分贝单位为分贝, 线线 性分度。性分度。 对数相频特性的纵坐标为对数相频特性的纵坐标为 ( )，单位为度，线性分度。，单位为度，线性分度。 伯德伯德(Bode)图表示系统的优点图表示系统的优点: (1)将幅值的相乘转化对数的相加，给将幅值的相乘转化对数的相加，给 作图带来很大方便；作图带来很大方便；(2) 组成系统的基本环节，其对数幅频特性可以用渐组成系统的基本环节，其对数幅频特性可以用渐 近线表示，简化了近线表示，简化了L(w)的绘制过程。的绘制过程。 2. 典型环节的对数幅频特性图典型环节的对数幅频特性图 在控制系统中常见的基本环节有在控制系统中常见的基本环节有: 比例环节、积分环节、微分环节、一阶惯性环节、二阶振荡环节等。比例环节、积分环节、微分环节、一阶惯性环节、二阶振荡环节等。 (1)比例环节比例环节 频率特性函数频率特性函数: G(jw)=K L(w)=20lgK ( )=0 (2)惯性环节惯性环节 频率特性函数频率特性函数: ( )=-arctan t dB 20lgK 0 L( ) ( ) 1 1 )( + = jwT jwG 2 )(1lg20)(TL+= 0 ( ) L( ) dB 0 0 -20 1/T -45 -90 (3) 一阶微分环节 频率特性函数 一阶微分环节 频率特性函数: G(jw)=jwT+1 ( )=arctan t (4)积分环节 频率特性函数 积分环节 频率特性函数: ( )=-90 2 )(1lg20)(TL+= 0 ( ) L( ) dB 0 20 1/T 45 90 jw jwG 1 )(= lg20)(=L -90 ( ) L( ) dB 0 1 0 -20 (5) 微分环节 频率特性函数: 微分环节 频率特性函数: G(jw)=jw L( )=20lg ( )=90 (6) 振荡环节 频率特性函数: 振荡环节 频率特性函数: 0 ( ) L( ) dB 0 1 90 20 12)( 1 )( 22 + = TjjT jG 2222 )2()1 (lg20)(TTL+= 22 1 2 arctan)( T T = -180 ( ) L( ) dB 0 1/T 0 -40 -90 (7) 二阶微分环节二阶微分环节 频率特性函数:频率特性函数: (8) 延时环节延时环节 频率特性函数:频率特性函数: 12)()( 22 +=TjjTjG 222 )2()1 (lg20)(TTL+= 22 1 2 arctan)( T T = 0 ( ) L( ) dB 0 1/T 180 40 90 j ejG =)( 0)(=L o 3 .57)(= 3. 伯德图的绘制一般步骤伯德图的绘制一般步骤 在绘制伯德图时，要应用对数运算的特点，将组成系统的开环传递函在绘制伯德图时，要应用对数运算的特点，将组成系统的开环传递函 数写成典型环节的乘积形式，画出各典型环节的对数幅频特性图和对数相数写成典型环节的乘积形式，画出各典型环节的对数幅频特性图和对数相 频特性图，将各典型环节的对数频率特性图叠加获得系统的对数频率特性频特性图，将各典型环节的对数频率特性图叠加获得系统的对数频率特性 图。图。 一般情况下，应用开环频率特性表达绘制伯德图的绘制一般步骤如下一般情况下，应用开环频率特性表达绘制伯德图的绘制一般步骤如下: (1) 将开环频率特性按典型环节分解，并写成时间常数的形式；将开环频率特性按典型环节分解，并写成时间常数的形式； (2) 求出各转角频率求出各转角频率(交接频率交接频率)，将其从小到大排列，将其从小到大排列, 并标注在轴上；并标注在轴上； (3) 在转角频率间，根据环节的特性频率函数以其相应的斜率绘制渐进在转角频率间，根据环节的特性频率函数以其相应的斜率绘制渐进 线对数幅值曲线；线对数幅值曲线； (4) 对渐近线在转角处做适当修改，得到精确曲线；对渐近线在转角处做适当修改，得到精确曲线； (5) 将各典型环节的相角曲线叠加，得到相角曲线。将各典型环节的相角曲线叠加，得到相角曲线。 例例1: )1 .0)(5 .0( 5 .0 )()( + = ss sHsG (1) 将传递函数写成各典型环节的乘积形式将传递函数写成各典型环节的乘积形式(称为伯德标准型称为伯德标准型): 系统的开环频率特性为 由伯德标准型可知，开环传递系数为 系统的开环频率特性为 由伯德标准型可知，开环传递系数为K=10，转折频率为，转折频率为w1=0.1， w2=0.5 (2)绘制对数坐标，并将各个转折频率标注在坐标轴上绘制对数坐标，并将各个转折频率标注在坐标轴上 (3)确定低频段确定低频段: 在本例中，没有微分和积分环节，只有比例环节，对数幅频特性的 低频段是 在本例中，没有微分和积分环节，只有比例环节，对数幅频特性的 低频段是0db/dec的水平线，高度为的水平线，高度为20lgK=20db ) 5 .0 1 1)( 1 .0 1 1 ( 10 )()( ss sHsG + = ) 5 .0 1 1)( 1 .0 1 1 ( 10 )()( jj sHsG + = （4）绘制开环对数幅频特性的渐近线（4）绘制开环对数幅频特性的渐近线 将低频段延伸到第一个转折频率将低频段延伸到第一个转折频率w1=0.1。第一个转折频率是惯性环 节的转折频率，开环对数幅频特性的渐近线下降 。第一个转折频率是惯性环 节的转折频率，开环对数幅频特性的渐近线下降20db/dec，再延伸到第 二个转折频率 ，再延伸到第 二个转折频率w2=0.5, 也是惯性环节,再下降也是惯性环节,再下降20db/dec. （5）绘制相频特性（5）绘制相频特性 绘制各个环节的对数相频特性曲线，然后逐点叠加。一般在一些特 征点上进行叠加，如各个转折频率处。 绘制各个环节的对数相频特性曲线，然后逐点叠加。一般在一些特 征点上进行叠加，如各个转折频率处。 (6)在转折频率处作适当的修正，以得到准确的对数幅频特性(6)在转折频率处作适当的修正，以得到准确的对数幅频特性 对于惯性环节和一阶微分环节,在转折频率处增加或减少3分贝。对于惯性环节和一阶微分环节,在转折频率处增加或减少3分贝。 现计算惯性环节的最大误差情况：现计算惯性环节的最大误差情况： 在转角频率处(在转角频率处(=1/T)，环节的幅值为:)，环节的幅值为: -20lg (1+1)+20lg1=-3.03 dB 因此，在转角频率出引入一个-3dB的校正点。因此，在转角频率出引入一个-3dB的校正点。 Frequency (rad/sec) Phase (deg); Magnitude (dB) Bode Diagrams -60 -40 -20 0 20 10 -2 10 -1 10 0 10 1 -200 -150 -100 -50 0 -20dB -40dB 4. 系统类型与对数幅值曲线间的关系系统类型与对数幅值曲线间的关系 单位反馈控制系统单位反馈控制系统, Kp、Kv、Ka分别描述了分别描述了0型、型、I型、型、2型系统的低频特型系统的低频特 性。性。 (1) Kp 系统的低频渐近线是一条幅值为系统的低频渐近线是一条幅值为20lgKp分贝的水平线。分贝的水平线。 (2) Kv -20分贝/十倍频程 -40分贝/十倍频程 20lgKv w2w3w1 w=1 (3) Ka -40分贝/十倍频程 -20分贝/十倍频程 wa=Ka w=1 -40分贝/十倍频程 20lgKa -60分贝/十倍频程 第二节第二节: 极坐标图极坐标图 极坐标图也称奈魁斯特图或幅相频率特性图极坐标图也称奈魁斯特图或幅相频率特性图. 频率特性函数频率特性函数G(jw)的极的极 坐标图是由坐标图是由0时时, 频率特性函数在复平面上的图像。频率特性函数在复平面上的图像。G(jw)曲线的每曲线的每 一点都表示与特定值相应的向量端点，向量的幅值为一点都表示与特定值相应的向量端点，向量的幅值为|G(jw)|, 相角为相角为 argG(j ); 向量在实轴和虚轴上的投影分别为实频特性向量在实轴和虚轴上的投影分别为实频特性R( )和虚轴和虚轴I( ). 绘制奈氏图的目绘制奈氏图的目: 用来判断闭环系统的稳定性用来判断闭环系统的稳定性. 画法关键画法关键: 确定几个关键点的准确位置确定几个关键点的准确位置, 绘出奈氏图的大致形状可。绘出奈氏图的大致形状可。 开环频率特性函数极坐标图的绘制步骤开环频率特性函数极坐标图的绘制步骤: (1) 将开环频率特性函数将开环频率特性函数G0(j )写成写成A( )ej ( )或或R( )+jI( )的形式。的形式。 (2) 确定极坐标图的起点确定极坐标图的起点( =0+)和终点和终点