专题28 利用导数研究函数的极值一、例题选讲题型一、求函数的极值点讨论或者证明函数极值点或者极值点的个数问题，转化为导函数为0的根的个数。求函数的极值点通过研究函数的单调性来解决。例1、(2018苏北四市期末）已知函数f(x)x2ax1，g(x)lnxa(aR)(1) 当 a1时，求函数h(x)f(x)g(x)的极值；规范解答 (1) 函数h(x)的定义域为(0，)当a1时，h(x)f(x)g(x)x2xlnx2，所以h(x)2x1.(2分)令h(x)0得x(x1舍)，当x变化时，h(x)，h(x)的变化情况如下表：xh(x)0h(x)极小值所以当x时，函数h(x)取得极小值ln2，无极大值(4分)例2、(2018南京、盐城、连云港二模）已知函数f(x)x(ex2)，g(x)xlnxk，kR，e为自然对数的底数记函数F(x)f(x)g(x)(1) 求函数yf(x)2x的极小值；规范解答 (1) yf(x)2xxex，由y(1 x)ex0，解得x1.列表如下：x(，1)1(1，)y0y极小值所以当x1时，函数y取得极小值 .(2分) 例3、(2016苏北四市期末）已知函数f(x)exx32x2(a4)x2a4，其中aR，e为自然对数的底数(1) 若函数f(x)的图像在x0处的切线与直线xy0垂直，求a的值；(2) 关于x的不等式f(x)ex在(，2)上恒成立，求a的取值范围；(3) 讨论函数f(x)极值点的个数思路分析 第(2)小题中的恒成立可以考虑将实数a与x分离，将问题转化求函数g(x)(x2)2(x(，2)的最值问题，也可以考虑关于x不等式在x(，2)恒成立，注意到x2是方程x36x2(3a12)x6a80的一个根，从而将原不等式因式分解并从区间根的角度入手求实数a的取值范围；第(3)小题关键是将所求的问题转化成讨论函数g(x)x3x2axa的单调性与极值问题，另一种思路是由f(x)exx3x2axa0得a(x1)，将问题转化成函数ya和y(x1)的图像交点个数问题规范解答 (1) 由题意，f(x)ex，(2分)因为f(x)的图像在x0处的切线与直线xy0垂直，所以f(0)1，解得a1. (4分)(2) 解法1 由f(x)ex，得exx32x2(a4)x2a4ex，即x36x2(3a12)x6a8x36x212x8对任意x(，2)恒成立，因为x(x2)2，(8分)记g(x)(x2)2，因为g(x)在(，2)上单调递增，且g(2)0，所以g(x)max0.所以a0，即a的取值范围是0，). (10分)解法2 由f(x)ex，得exx32x2(a4)x2a4ex，即x36x2(3a12)x6a80在(，2)上恒成立， (6分)因为x36x2(3a12)x6a80等价于(x2)(x24x3a4)0恒成立，所以原不等式在(，2)上恒成立，满足题意(8分)当a0时，记g(x)x24x3a4，有g(2)3a0，所以方程x24x3a40必有两个根x1，x2，且x12x2，原不等式等价于(x2)(xx1)(xx2)0，解集为(，x1)(2，x2)，与题设矛盾，所以a0，所以a0恒成立，所以a0，此时0a1.综合()()得，当a0时，f(x)有且仅有一个极值点； (14分)若f(x)有三个极值点，所以函数g(x)的图像必穿过x轴且穿过三次，同理可得g(x1)g(x2)0，a0；综上，当a0时，f(x)有且仅有一个极值点，当a0得x0，令g(x)0且x1，即函数g(x)在区间(，0)上单调递增，在区间(0,1)和(1，)上单调递减，所以函数g(x)的图像如图所示，所以当a0时，f(x)有且仅有一个极值点，当a0，即x1时，xa恒成立，所以a1；(6分)当lnx0，即x0，所以g(x)单调递增，至多一个零点，不合题意，舍去(9分)当a0时，因为x(0，a)时，g(x)0，g(x)单调递增，所以xa时，g(x)极小值g(a)ln(a)2.(11分)因为g(x)存在两个不相等的零点，所以ln(a)20，解得e2a0.因为e2ae2a.因为glna210，所以在(a，)上存在一个零点. (13分)因为e2a0，所以0a2a.又因为g(a2)lna212ln(a)1.设ta，则y2lnt1，则y2lne21e230，所以g(a2)lna210，所以在(0，a)上存在一个零点符合题意综上可知，e2a0.(16分)例5、(2017南京三模）已知R，函数f (x)exex(xlnxx1)的导函数为g(x)（1）求曲线yf (x)在x1处的切线方程；（2）若函数g (x)存在极值，求的取值范围；【思路分析】第（2）小问可以转化为导数函数方存在异号零点，由于导函数中含有参数可以分参也可以分类讨论求解；规范解答 （1）因为f(x)exelnx， 所以曲线yf (x)在x1处的切线的斜率为f(1)0， 又切点为(1，f (1)，即(1，0)， 所以切线方程为y0 2分 （2）g (x)exelnx，g(x)ex 当0时，g(x)0恒成立，从而g (x)在(0，)上单调递增， 故此时g (x)无极值 4分 当0时，设h(x)ex，则h(x)ex0恒成立， 所以h(x)在(0，)上单调递增 6分 当0e时，h(1)e0，h()ee0，且h(x)是(0，)上的连续函数，因此存在唯一的x0(，1)，使得h(x0)0 当e时， h(1)e0，h()e10，且h(x)是(0，)上的连续函数，因此存在唯一的x01，)，使得h(x0)0 故当0时，存在唯一的x00，使得h(x0)0 8分 且当0xx0时，h(x)0，即g(x)0，当xx0时，h(x)0，即g(x)0， 所以g (x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，)上单调递增， 因此g (x)在xx0处有极小值 所以当函数g (x)存在极值时，的取值范围是(0，) 10分例6、(2019扬州期末）已知函数f(x)(3x)ex，g(x)xa(aR)(e是自然对数的底数，e2.718)(1) 求函数f(x)的极值；(2) 若函数yf(x)g(x)在区间上单调递增，求a的取值范围；(3) 若函数h(x)在区间(0，)上既存在极大值又存