上一页 下一页 概率论与数理统计教程（第四版） 目录 结束 返回 2.7 均匀分布指数分布 第二章 随机变量及其分布上一页 下一页 概率论与数理统计教程（第四版） 目录 结束 返回 2.7 均匀分布 指数分布 1 定义 设连续随机变量 的一切可能值充满某一X且在该区间内任一点概率密度相同， 即密度函数 在区间 上为常量，)(xf ,ba).,( baUX1.均匀分布,ba个有限区间 称此分布为 均匀分布（或等概率分布）. ).,(: baU记作 时， 上服从分布 在 当 ),(, baUbaX :记为上一页 下一页 概率论与数理统计教程（第四版） 目录 结束 返回 均匀分布的意义 ,),( Xba 变量 上服从均匀分布的随机 在区间.),(性是相同的 内的可能 中任意等长度的子区间 落在区间baxo)(xfa bab-14 3 42 1lablp- = 4 8 7 6l2.7 均匀分布 指数分布上一页 下一页 概率论与数理统计教程（第四版） 目录 结束 返回 （2）每隔一定时间有一辆车通过车站,乘客随机 到达时的候车时间； （3）在区间 ,ba 内随机取一个数. 应用背景举例： （1）随机数四舍五入的舍入误差; 2.7 均匀分布 指数分布上一页 下一页 概率论与数理统计教程（第四版） 目录 结束 返回 在区间 ,ba 上概率密度 Cxf =)( (常数)，.1abC - = 1 均匀分布的概率密度与分布函数 于是1)( = - = abCxdCba又因为随机变量X不可能取得区间 ,ba 外的值， 在 ,ba外,概率密度为零. - = .,0 ,1)( 其它bxaabxf所以 于是概率密度为(1)概率密度 2.7 均匀分布 指数分布上一页 下一页 概率论与数理统计教程（第四版） 目录 结束 返回,时 当 ax.11 = - = ba dxab + + = - xbbaa dxxfdxxfdxxfxF )()()()( =ba dxxf)(2.7 均匀分布 指数分布上一页 下一页 概率论与数理统计教程（第四版） 目录 结束 返回,均匀分布的分布函数为 于是 = - .0,0 0,e)( xxxf x l l 这种分布叫做指数分布. 指数分布含有一个参数l,将此分布记为 )(le.)( leX如果随机变量X服从指数分布 )(le,则记为: 2.指数分布 1 定义 其中 0 l 为常数.1ee)( 00 = - = = + - + - + - xxdxdxxf l l l 易知 2.7 均匀分布 指数分布上一页 下一页 概率论与数理统计教程（第四版） 目录 结束 返回 (1) 电子元件的寿命； (2) 顾客要求某种服务等待的时间. 应用背景举例：:)(的图形 密度函数 xf2.7 均匀分布 指数分布O)(xfx上一页 下一页 概率论与数理统计教程（第四版） 目录 结束 返回.)(2,1,31 的图形 时 下图为 xf= = = q q q 2.7 均匀分布 指数分布 q l1=上一页 下一页 概率论与数理统计教程（第四版） 目录 结束 返回 指数分布的分布函数及其图形： - = - .0,0 0,e1)( xxxF x l 2.7 均匀分布 指数分布xO)(xF1 q l1=上一页 下一页 概率论与数理统计教程（第四版） 目录 结束 返回 例 2 某仪器装有三只独立工作的同型号电子元件,其寿 命(单位:h)都服从指数分布，概率密度为 = - .0,0 0,e6001)( 60 xxxf x试求该仪器在使用的最初 h200内至少有一只电子元件 损坏的概率a. 设随机变量X表示任一电子元件的寿命(单位:h),:解则任一电子元件在 h200内损坏的概率为 2.7 均匀分布 指数分布上一页 下一页 概率论与数理统计教程（第四版） 目录 结束 返回)2000( = XPp dxx6002000 e6001 - =3)1(1 p - - = adxxf =2000 )(.e131 - - = .6321.0e11 - = - 所求概率为 从而,2.7 均匀分布 指数分布上一页 下一页 概率论与数理统计教程（第四版） 目录 结束 返回,0,ts对于任意 有 sXtsXP + = . tXP 事实上 sXtsXP + = )()( sXP sXtsXP + I = sXPtsXP + = )(1 )(1 sFtsF - + - 指数分布的重要性质:“无记忆性”.sts l l - + - =ee )( t l- =e . tXP = 2.7 均匀分布 指数分布上一页 下一页 概率论与数理统计教程（第四版） 目录 结束 返回 是某一元件的寿命， 如果X 那么无记忆性表明:,小时 已知元件已使用s 小时 它总共能使用至少 ts+ 的条件概率与从开始使用时算起，它至少能用t小时 这就是说： .小时没有记忆 元件对它已使用过s的概率相等. 某些元件或设备的寿命服从指数分布.例如 无线电元件的寿命、电力设备的寿命、动物的 寿命等都服从指数分布.应用与背景 2.7 均匀分布 指数分布上一页 下一页 概率论与数理统计教程（第四版） 目录 结束 返回 2.7 均匀分布 指数分布 小 结1.均匀分布:背景,定义,密度函数,分布函数.2.指数分布:背景,定义,密度函数及其图形,分布 函数.上一页 下一页 概率论与数理统计教程（第四版） 目录 结束 返回 设随机变量X在2,5上服从均匀分布,现 对X进行三次独立观测,试求至少有两次观测值大 于3的概率.X的分布密度函数为 = .,0 ,52,31)( 其他xxf设A表示“对X的观测值大于3”,解即A=X3.练习1上一页 下一页 概率论与数理统计教程（第四版） 目录 结束 返回2YP .2720= 因而有 设Y表示3次独立观测中观测值大于3的次数,则 .32,3 BY - = 32132223C 0333 32132 - +C3)( = XPAP由于 ,32d3153 = = x上一页 下一页 概率论与数理统计教程（第四版） 目录 结束 返回 某类日光灯管的使用寿命X服从参数为 =1/200的指数分布(单位:小时).(1)任取一只这种灯管,求能正常使用100小 时以上的概率.(2)有一只这种灯管已经正常使用了100小 时以上,求还能使用100小时以上的概率.解X的分布函数为 XP 1001 - = XP )100(1F - =21e - = .607.0 =上一页 下一页 概率论与数理统计教程（第四版） 目录 结束 返回100200)2( XXP 100 100,200 = XPXXP100 200 = XPXP 1001 2001 - - = XPXP)100(1 )200(1FF - - = 21e - = .607.0 =上一页 下一页 概率论与数理统计教程（第四版） 目录 结束 返回 思考题 ,)5,0( 求方程 上的均匀分布 服从 设随机变量X02442 = + + + XXxx.有实根的概率 2.7 均匀分布 指数分布上一页 下一页 概率论与数理统计教程（第四版） 目录 结束 返回 解：当且仅当 ,0)2(16)4( 2 + - XX.0244, 2 有实根 方程 成立时 = + + + XXxx 12 - XX或 率为 因此该方程有实根的概2 = XP 52 = XP即.535152 = = dx12 - + = XPXPp2.7 均匀分布 指数分布