2020/7/6,1,4 最优资产组合选择,2020/7/6,2,5.3 资产组合的收益与风险,一个岛国是旅游胜地，其有两家上市公司，一家为防晒品公司，一家为雨具公司。岛国每年天气或为雨季或为旱季，概率各为0.5，两家公司在不同天气下的收益分别如下，请问你的投资策略。,防晒品公司,雨具公司,雨季,旱季,0%,20%,20%,0%,2020/7/6,3,例如有A、B两种股票，每种股票的涨或跌的概率都为50%，若只买其中一种，则就只有两种可能，但是若买两种就形成一个组合，这个组合中收益的情况就至少有六种。,A,B,组合至少还包含非组合（即只选择一种股票），这表明投资者通过组合选择余地在扩大，从而使决策更加科学。,2020/7/6,4,组合的收益 假设组合的收益为rp，组合中包含n种证券，每种证券的收益为ri，它在组合中的权重是wi，则组合的投资收益为,2020/7/6,5,组合的方差,将平方项展开得到,2020/7/6,6,2020/7/6,7,根据概率论，对于任意的两个随机变量，总有下列等式成立,组合的风险变小,2020/7/6,8,4.2 资产组合理论,基本假设 （1）投资者仅仅以期望收益率和方差（标准差）来评价资产组合（Portfolio） （2）投资者是不知足的和风险厌恶的，即投资者是理性的。 （3）投资者的投资为单一投资期，多期投资是单期投资的不断重复。 （4）投资者希望持有有效资产组合。,2020/7/6,9,4.2.1 组合的可行集和有效集,可行集与有效集 可行集：资产组合的机会集合（Portfolio opportunity set），即资产可构造出的所有组合的期望收益和方差。 有效组合（Efficient portfolio ）：给定风险水平下的具有最高收益的组合或者给定收益水平下具有最小风险的组合。每一个组合代表一个点。 有效集（ Efficient set） ：又称为有效边界（ Efficient frontier）,它是有效组合的集合（点的连线）。,6-10,无风险资产,只有政府可以发行无违约风险的债券。 实际中无风险资产是一种指数化债券，只有在投资期限等于投资者愿意持有的期限时才能对投资者的实际收益率进行担保。 短期国库券被看做无风险资产。 实际操作中，货币市场基金也被看做无风险资产。,6-11,通过在无风险资产和风险资产之间合理分配投资基金，有可能建立一个完整的资产组合。 假设分配给风险资产P的比例为w 分配给无风险资产 F的比例是(1-w）,一、单一风险资产与单一无风险资产的投资组合,6-12,单一风险资产与单一无风险资产的投资组合,6-13,单一风险资产与单一无风险资产的投资组合,完整的资产投资组合的期望收益率=无风险资产收益率+风险资产的比例风险资产的风险溢价,风险溢价,无风险资产收益率,6-14,单一风险资产与单一无风险资产的投资组合,完整资产投资组合的风险是风险资产的比例乘以其风险: 夏普比率,在“期望收益-标准差”平面中对应着一条直线，穿过无风险资产 rf 和风险资产r，我们称这条直线为资本配置线（Capital Allocation Line）,单一风险资产与单一无风险资产的投资组合,资本配置线的斜率等于资产组合每增加以单位标准差所增加的期望收益，也即每单位额外风险的额外收益。因此，我们有时候也将这一斜率称为报酬与波动性比率,单一风险资产与单一无风险资产的投资组合,6-17,单一风险资产与单一无风险资产的投资组合,假设存在一组资产组合,它由一个风险资产和一个无风险资产组成。两种资产的收益率分别为15%, 7%。风险资产的标准差为22%. 请画出资本配置线,6-18,单一风险资产与单一无风险资产的投资组合,2020/7/6,19,两种风险资产构成的组合的风险与收益,假设市场中的资产是两个风险资产，例如一个股票和一个公司 债券，且投资到股票上的财富比例为w，则投资组合的期望收 益和标准差为：,由此就构成了资产在给定条件下的可行集！,2020/7/6,20,注意到两种资产的相关系数为1121 因此，分别在121和121时，可以得到资产组合的可行集的顶部边界和底部边界。 其他所有的可能情况，在这两个边界之中。,2020/7/6,21,组合的风险收益 二维表示,4.2.2 两种完全正相关资产的可行集,情形一， 此时，两个资产的收益率是完全正相关的，我们容易得到： 完全正相关的两种资产构成的可行集是一条直线。,2020/7/6,23,两种资产完全正相关，即12 1，则有,2020/7/6,24,命题6.1：完全正相关的两种资产构成的可行集是一条直线。 证明：由资产组合的计算公式可得,2020/7/6,25,两种资产组合（完全正相关），当权重w1从1减少到0时可以得到一条直线，该直线就构成了两种资产完全正相关的可行集（假定不允许买空卖空）。,情形二， 此时，两个资产的收益率是完全负相关的，类似可以得到： 完全负相关的两种资产构成的可行集是两条直线，其截距相同，斜率异号。,2020/7/6,27,4.2.3 两种完全负相关资产的可行集,两种资产完全负相关，即12 =-1，则有,2020/7/6,28,命题6.2：完全负相关的两种资产构成的可行集是两条直线，其截距相同，斜率异号。证明：,2020/7/6,29,2020/7/6,30,两种证券完全负相关的图示,收益rp,风险p,情形三， 此时，在期望-标准差平面中对应着两条双曲线。考虑到经济含义，我们只需考虑坐标轴第一象限内的部分： 在情形二和情形三中，我们可以根据最小方差点将可行集分为两个部分：位于最小方差点上方的部分（SE1和SE2）和位于最小方差点下方的部分（E1B和E2B）。对于风险规避的投资者而言，只会选择最小方差点上方的资产组合，我们称这部分资产组合为全部资产组合的效率边界（Efficient Frontier）。,2020/7/6,32,两种不完全相关的风险资产的组合的可行集,2020/7/6,33,总结：在各种相关系数下、两种风险资产构成的可行集,2020/7/6,34,35,【相关性对机会集和有效集的影响】,36,该图的几个主要特征：1.它揭示了分散化效应。A为低风险证券,B为高风险证券。在全部投资于A的基础上，适当加入高风险的B证券,组合的风险没有提高，反而有所降低。这种结果与人们的直觉相反,揭示了风险分散化特征。尽管两种证券同向变化, 但还是存在风险抵消效应的。2.它表达了最小方差的组合。图中点2即为最小方差组合，离开此点，无论增加还是减少B的投资比例,标准差都会上升。3.它表达了投资的有效集合。12部分的投资组合是无效的, 最小方差组合到最高预期报酬率组合点之间的曲线为有效集。,【例多选题】A证券的预期报酬率为12%，标准差为15%；B证券的预期报酬率为18%，标准差为20%。投资于两种证券组合的机会集是一条曲线，有效边界与机会集重合，以下结论中正确的有（）。A.最小方差组合是全部投资于A证券B.最高预期报酬率组合是全部投资于B证券C.两种证券报酬率的相关性较高，风险分散化效应较弱D.可以在有效集曲线上找到风险最小、期望报酬率最高的投资组合,37,正确答案ABC,【例多选题】假设甲、乙证券收益的相关系数接近于零，甲证券的预期报酬率为6%（标准差为10%）,乙证券的预期报酬率为8%（标准差为15%），则由甲、乙证券构成的投资组合（）。A.最低的预期报酬率为6%B.最高的预期报酬率为8%C.最高的标准差为15%D.最低的标准差为10%,38,正确答案ABC,2020/7/6,39,3种风险资产的组合二维表示,一般地，当资产数量增加时，要保证资产之间两两完全正（负）相关是不可能的，因此，一般假设两种资产之间是不完全相关（一般形态）。,2020/7/6,40,类似于3种资产构成组合的算法，我们可以得到一个月牙型的区域为n种资产构成的组合的可行集。,n种风险资产的组合二维表示,2020/7/6,41,总结：可行集的两个性质,在n种资产中，如果至少存在三项资产彼此不完全相关，则可行集合将是一个二维的实体区域 可行区域是向左侧凸出的 因为任意两项资产构成的投资组合都位于两项资产连线的左侧。,一个无风险资产与两个风险资产的组合 假设两个资产的投资权重分为w1和w2，无风险资产的投资权重为1-w1-w2。两个风险资产构成一个风险资产组合，三个资产构成的投资组合可行集等价于一个风险资产组合与一个无风险资产构成的可行集。 随着w1和w2的变化，风险资产的期望收益和方差并不是确定的值，而是不断变化的。给定w1和w2的某一比例k，在期望收益-方差平面中就对应着一个风险资产组合，该组合与无风险资产的连线形成了一条资本配置线，这条资产配置线就是市场中存在三个资产时的投资组合可行集合。,我们容易发现，在所有资本配置线中，斜率最高的资本配置线在相同标准水平下拥有最大的期望收益率，也即与风险资产组合效率边界相切的一条线，我们称之为最有资本配置线，相应的切点组合P0被称为最优风险资产组合。,2020/7/6,44,总 结,A、两种资产的可行集 完全正相关是一条直线 完全负相关是两条直线 完全不相关是一条抛物线 其他情况是界于上述情况的曲线 B、两种资产的有效集 左上方的线 C、多个资产的有效边界 可行集：月牙型的区域 有效集：左上方的线,一、不同市场环境下最优资产组合的选择 定义效用为收益率的均值和标准差的函数，即 给定效用水平 ，在期望值-标准差平面中 就是投资者的无差异曲线。 对于风险规避的投资者而言，期望收益的增加会提高投资者效用水平，标准差或者风险水平的增大则会降低效用水平，因此有： 在期望值-标准差平面中，无差异曲线就是一条向右上倾斜的曲线，并且左上方的无差异曲线代表的效用高水平要高于右下方无差异曲线的效用水平。 给定投资者的效用函数 ，当风险和期望的边际替代率是递减的时候，无差异曲线就是凸向原点的。,一个无风险资产和一个风险资产 此时，投资组合可行集就是通过无风险资产和风险资产的资本配置线。给定投资者的效用函数，我们可以通过描述不同效用水平下的无差异曲线，得到投资者的最优投资组合。 不同的投资者风险规避程度是不同的，因而在风险和收益之间的权衡也存在差异，对于风险规避程度较高的投资者而言，会将财富更多地投入到无风险资产中，从而获得较低风险水平的资产组合。,两个风险资产 当市场中存在两个风险资产时，供投资者选择的有效资产组合就是上图中的双曲线上半部分的效率边界。随着无差异曲线向左上方移动，两者相切的切点即为最优资产组合。 不同投资者无差异曲线的形状不同，与效率边界的切点位置也不同。对于风险规避程度较高的投资者而言，他们会选择效率边界左侧、风险较低的资产组合。,一个无风险资产和两个风险资产 当市场存在一个无风险和两个风险资产时，投资者会在两个风险资产构成的风险资产组合和无风险资产之间进行财富分配。 在所有通过无风险资产的资本配置线中，与效率边界相切的资本配置线在相同风险水平下拥有最大的期望收益，因此对于所有的投资者来说，他们都会在这条资本配置线上进行最优资产组合的选择。最优资产组合就是无差异曲线与资本配置线相切的点。,二、分离定理 分离定理（Separation Theorem）：当市场中存在无风险资产和多个风险资产的时候，只要投资者是风险规避者，不管他具体的效用函数如何，他们选择的风险资产组合都是一样的，也就是无风险资产与效率边界相切的P点。投资者的效用函数或者说风险规避程度只决定了他持有的无风险资产和风险资产组合P的比例。 根据这一定理，投资组合的选择过程可以分为两个阶段： 首先，投资者要根据各风险资产的期望收益、方差以及协方差确定最优风险资产组合。 之后，投资者在确定了最优风险资产组合的基础上，根据自身的风险规避程度确定投资在最有风险资产组合和无风险资产上的比例，从而得到最终的最优资产组合。,2020/7/6,5