（普通班）2017届高三数学一轮复习第十一篇计数原理、概率、随机变量及其分布第7节二项分布与正态分布基础对点练理第7节二项分布与正态分布【选题明细表】知识点、方法题号条件概率1,14独立事件的概率3,10二项分布2,5,6,9,11,12,15正态分布4,7,8,13,16基础对点练(时间:30分钟)1.投掷两枚骰子,已知有一枚点数是5的条件下,则另一枚点数也是5的概率是(C)(A)(B)(C)111(D)112解析:法一基本事件的全体中含有36个基本事件,记事件A为一枚点数是5,则事件A含有的基本事件是(1,5),(2,5),(3,5),(4,5),(5,5),(6,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,6)共11个,P(A)=1136,记事件B为另一枚点数是5,则AB就是事件两枚点数都是5,基本事件只有一个,故P(AB)=136,故P(B|A)=P(AB)P(A)=111.法二把基本事件的全体减缩为=(1,5),(2,5),(3,5),(4,5),(5,5),(6,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,6),显然另一枚点数也是5的概率为111.故选C.2.已知随机变量+=8,若B(10,0.6),则E(),D()分别是(D)(A)6,2.4(B)6,5.6(C)2,5.6(D)2,2.4解析:E()=6,D()=2.4,E()=E(8-)=8-E()=2,D()=D(8-)=(-1)2D()=2.4.故选D.3.若事件A,B,C相互独立,且P(A)=0.25,P(B)=0.50,P(C)=0.40,则P(A+B+C)等于(D)(A)0.80(B)0.15(C)0.55(D)0.775解析:A,B,C相互独立,则有P(A+B+C)=1-P()P()P()=1-(1-0.25)(1-0.50)(1-0.40)=1-0.225=0.775.故选D.4.(2015宁德高三5月质检)已知某市两次数学测试的成绩1和2分别服从正态分布1N1(90,86)和2N2(93,79),则以下结论正确的是(C)(A)第一次测试的平均分比第二次测试的平均分要高,也比第二次成绩稳定(B)第一次测试的平均分比第二次测试的平均分要高,但不如第二次成绩稳定(C)第二次测试的平均分比第一次测试的平均分要高,也比第一次成绩稳定(D)第二次测试的平均分比第一次测试的平均分要高,但不如第一次成绩稳定解析:根据N(,2)中,的意义可知选项C正确.5.某人射击一次击中的概率为0.6,经过3次射击,此人至少有两次击中目标的概率为(A)(A)81125(B)54125(C) 36125(D)27125解析:击中目标的次数XB(3,0.6),至少有两次击中目标为事件X2, P(X2)=P(X=2)+P(X=3)=C32(35)2+C33()3=81125.故选A.6.将一枚硬币连掷5次,如果出现k次正面的概率等于出现k+1次正面的概率,那么k的值为(C)(A)0(B)1(C)2(D)3解析:根据题意,本题为独立重复试验,由概率公式得:C5k()k()5-k=C5k+1()k+1()4-k,解得k=2.故选C.7.(2015江西省八所重点中学高三联考)在某次数学测试中,学生成绩服从正态分布(100,2)(0),若在(80,120)内的概率为0.8,则落在(0,80)内的概率为(B)(A)0.05(B)0.1(C)0.15(D)0.2解析:因为服从正态分布N(100,2),所以曲线的对称轴是直线x=100,因为在(80,120)内取值的概率为0.8,所以在(80,100)内取值的概率为0.4,又在(0,100)内取值的概率为0.5,所以在(0,80)内取值的概率为0.5-0.4=0.1.故选B.8.(2015山西省康杰中学等四校四三次联考)设随机变量XN(3,62),若P(Xm)=0.3,则P(X6-m)=.解析:根据正态分布的定义可知对称轴为x=3,而m与6-m关于x=3对称,所以P(Xm)=P(X6-m)=1-P(X6-m)=1-0.3=0.7.答案:0.79.一次数学测验由25道选择题构成,答正确得4分,不作答或答错不得分,某学生选对任一题的概率为0.6,则此学生在这一次测验中的成绩的方差是.解析:设该学生在这次数学测验中选对答案的题目的个数为,所得的分数为,则=4,由题意知B(25,0.6),则E()=250.6=15,D()=250.60.4=6,E()=E(4)=4E()=60,D()=D(4)=42D()=96,所以该学生在这一次测验中的成绩的方差是96.答案:9610.甲、乙两名篮球运动员互不影响地在同一位置投球,命中率分别为与.(1)求甲投球2次,至少命中1次的概率;(2)若甲、乙两人各投球2次,求两人共命中2次的概率.解:设“甲投球一次命中”为事件A,“乙投球一次命中”为事件B,则P(A)=,P(B)=.(1)法一由题设知P(A)=,P()=.故甲投球2次至少命中1次的概率为1-P( )=,法二由题设知P(A)=,P()=.故甲投球2次至少命中1次的概率为C21P(A)P()+P(A)P(A)=.(2)由题设知P(A)=,P()=,P(B)=,P()=.甲、乙两人各投球2次,共命中2次有三种情况:甲、乙两人各命中一次;甲命中2次,乙2次均不命中;甲2次均不命中,乙命中2次.概率分别为P1=C21P(A)P()C21P(B)P()=316,P2=P(AA)P( )=164,P3=P( )P(BB)=964.所以甲、乙两人各投球2次,共命中2次的概率为P=P1+P2+P3=316+164+964=1132.能力提升练(时间:15分钟)11.已知B(n,),B(n,),且E()=15,则E()等于(B)(A)5(B)10(C)15(D)20解析:因为B(n,),所以E()=,又E()=15,则n=30.所以B(30,),故E()=30=10.故选B.12.设一次试验的成功率为p,进行100次独立重复试验,则成功次数X标准差的最大值是(B)(A)5(B)5(C)25(D)50解析:设成功次数为随机变量X,由题意可知XB(100,p),则D(X)=100p(1-p)10p+1-p2=5,等号当且仅当p=时成立.故选B.13.已知随机变量服从正态分布N(2,2),且P(4)=0.8,则P(02)等于.解析:P(4)=0.2,又图象关于直线x=2对称,P(4)=0.2,则P(04)=0.6,P(02)=0.3.答案:0.314.从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽取两张,将其中一张放在验钞机上检验发现是假钞,则两张都是假钞的概率是.解析:设事件A表示“抽到的两张都为假钞”;事件B表示“抽到的两张中至少有一张为假钞”,则所求的概率为P(A|B),又P(AB)=P(A)=C52C202,P(B)=C52+C51C151C202,所以P(A|B)=P(AB)P(B)=C52C52+C51C151=1085=217.答案:21715.(2015商丘二模)将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处,小球自由下落,小球在下落的过程中,将遇到黑色障碍物3次,最后落入A袋或B袋中.已知小球每次遇到障碍物时,向左、右两边下落的概率分别是,.(1)分别求出小球落入A袋和B袋中的概率;(2)在容器的入口处依次放入4个小球,记为落入B袋中的小球个数,求的分布列和数学期望.解:(1)记“小球落入A袋中”为事件M,“小球落入B袋中”为事件N,则事件M的对立事件为事件N.而小球落入A袋中当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下,故P(M)=()3+()3=127+827=,从而P(N)=1-P(M)=1-=.(2)显然,随机变量的所有可能取值为0,1, 2,3,4.且B(4,).故P(=0)=C40()0()4=181,P(=1)=C41()1()3=881,P(=2)=C42()2()2=827,P(=3)=C43()3()1=3281,P(=4)=C44()4()0=1681.则的分布列为01234P18188182732811681故的数学期望为E()=4=.16.某市一次全市高中男生身高统计调查数据显示:全市100 000名男生的身高服从正态分布N(168,16).现从某学校高三年级男生中随机抽取50名测量身高,测量发现被测学生身高全部介于160 cm和184 cm之间,将测量结果按如下方式分成6组:第1组160,164),第2组164,168),第6组180,184,如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.(1)试评估该校高三年级男生在全市高中男生中的平均身高状况;(2)求这50名男生身高在172 cm以上(含172 cm)的人数;(3)在这50名男生身高在172 cm以上(含172 cm)的人中任意抽取2人,将该2人中身高排名(从高到低)在全市前130名的人数记为,求的数学期望.参考数据:若N(,2),则P(-+)=0.682 6,P(-2+2)=0.954 4,P(-3+3)=0.997 4.解:(1)由频率分布直方图,经过计算该校高三年级男生平均身高为(1625100+1667100+1708100+1742100+1782100+1821100)4=168.72 cm,高于全市的平均值168 cm.(2)由频率分布直方图知,后3组频率为(0.02+0.02+0.01)4=0.2,人数为0.250=10,即这50名男生身高在172 cm以上(含172 cm)的人数为10.(3)因为P(168-34168+34)=0.997 4,所以P(180)=1-0.99742=0.001 3,0.001 3100 000=130.所以全市前130名的身高在180 cm以上(含180 cm),这50人中180 cm以上(含180 cm)的有2人.随机变量可取0,1,2,于是P(=0)=C82C102=2845,P(=1)=C81C21C102=1645,P(=2)=C22C102=145,所以E()=02845+11645+2145=.精彩5分钟1.(2015九江三模)已知袋中装有标号为1,2,3的三个小球,从中任取一个小球(取后放回),连取三次,则取得的小球的最大标号为3的概率为(B)(A)(B)1927(C)2027(D)解题关键:所求概率即为三次独立重复试验至少发生一次的概率.解析:根据题意每次取球时取到标号为3的小球的概率为,取球三次看作三次独立重复试验,每次取得标号为3的小球记为事件A,则所求的随机事件的概率即为事件