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4.141.1圆的标准方程预习课本P118120,思考并完成以下问题 1确定圆的几何要素有哪些? 2圆的标准方程是什么? 3点与圆的位置关系有哪几种?怎样去判断? 1圆的标准方程(1)圆的定义:平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆,定点称为圆心,定长称为圆的半径(2)确定圆的要素是圆心和半径,如图所示(3)圆的标准方程:圆心为A(a,b),半径长为r的圆的标准方程是(xa)2(yb)2r2.当ab0时,方程为x2y2r2,表示以原点为圆心、半径为r的圆2点与圆的位置关系圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2,圆心A(a,b),半径为r.设所给点为M(x0,y0),则位置关系判断方法几何法代数法点在圆上MAr点M在圆A上点M(x0,y0)在圆上(x0a)2(y0b)2r2点在圆内MAr点M在圆A外点M(x0,y0)在圆外(x0a)2(y0b)2r21判断下列命题是否正确(正确的打“”,错误的打“”)(1)方程(xa)2(yb)2m2一定表示圆()(2)若圆的标准方程为(xm)2(yn)2a2(a0),此圆的半径一定是a()答案:(1)(2)2点P(m,5)与圆x2y224的位置关系是()A在圆外 B在圆内C在圆上 D不确定解析:选Am22524,点P在圆外3经过原点,圆心在x轴的负半轴上,半径为2的圆的方程是_解析:圆心是(2,0),半径是2,所以圆的方程是(x2)2y24.答案:(x2)2y24求圆的标准方程典例求经过点P(1,1)和坐标原点,并且圆心在直线2x3y10上的圆的方程解法一待定系数法设圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2,则有解得圆的标准方程是(x4)2(y3)225.法二几何法由题意知OP是圆的弦,其垂直平分线为xy10.弦的垂直平分线过圆心,由得即圆心坐标为(4,3),半径r5.圆的标准方程是(x4)2(y3)225.确定圆的标准方程就是设法确定圆心C(a,b)及半径r,其求解的方法:一是待定系数法,如法一,建立关于a,b,r的方程组,进而求得圆的方程;二是借助圆的几何性质直接求得圆心坐标和半径,如法二一般地,在解决有关圆的问题时,有时利用圆的几何性质作转化较为简捷 活学活用已知ABC的三个顶点坐标分别为A(0,5),B(1,2),C(3,4),求该三角形的外接圆的方程解:法一:设所求圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2.因为A(0,5),B(1,2),C(3,4)都在圆上,所以它们的坐标都满足圆的标准方程,于是有解得故所求圆的标准方程是(x3)2(y1)225.法二:因为A(0,5),B(1,2),所以线段AB的中点的坐标为,直线AB的斜率kAB7,因此线段AB的垂直平分线的方程是y,即x7y100.同理可得线段BC的垂直平分线的方程是2xy50.由得圆心的坐标为(3,1),又圆的半径长r5,故所求圆的标准方程是(x3)2(y1)225.点与圆的位置关系典例已知圆C的圆心为C(3,4),且过原点O,求圆C的标准方程,并判断点M1(1,0),M2(1,1),M3(3,4)与圆C的位置关系解因为圆C过原点O,圆心为C(3,4) ,所以圆C的半径长r|OC|5,因此圆C的标准方程为(x3)2(y4)225.因为(13)2(04)22025,所以点M1(1,0)在圆C内;因为(13)2(14)225,所以点M2(1,1)在圆C上;因为(33)2(44)23625,所以点M3(3,4)在圆C外判断点与圆的位置关系的方法(1)确定圆的方程:化为(xa)2(yb)2r2.(2)将点的坐标代入代数式(xa)2(yb)2,比较代数式的值与r2的大小关系(3)下结论:若(xa)2(yb)2r2,表示点在圆上;若(xa)2(yb)2r2,表示点在圆外;若(xa)2(yb)2r2,表示点在圆内此外,也可以利用点与圆心的距离d与半径r的大小关系来判断当dr时,点在圆外;当dr时,点在圆上;当d2,点P在圆外2若直线yaxb经过第一、二、
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