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阶段质量检测(二) 点、直线、平面之间的位置关系(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1(广东高考)若直线l1和l2是异面直线,l1在平面内,l2在平面内,l是平面与平面的交线,则下列命题正确的是()Al与l1,l2都不相交Bl与l1,l2都相交Cl至多与l1,l2中的一条相交Dl至少与l1,l2中的一条相交解析:选D由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行,故l1,l2中至少有一条与l相交2已知PA矩形ABCD,则下列结论中不正确的是()APBBCBPDCDCPDBD DPABD解析:选C如图所示,由于PA平面ABCD,且底面ABCD为矩形,所以PABD(即D正确),BCPA,BCBA,而PAABA,所以BC平面PAB,所以BCPB(即A正确)同理PDCD(即B正确),PD与BD不垂直,所以C不正确3.如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,D为A1B1的中点,ABBCBB12,AC2,则异面直线BD与AC所成的角为()A30B45C60 D90解析:选C如图,取B1C1的中点E,连接BE,DE,则ACA1C1DE,则BDE即为异面直线BD与AC所成的角由条件可知BDDEEB,所以BDE60,故选C.4.如图所示,ABCDA1B1C1D1是长方体,O是B1D1的中点,直线A1C交平面AB1D1于点M,则下列结论正确的是()AA,M,O三点共线BA,M,O,A1不共面CA,M,C,O不共面DB,B1,O,M共面解析:选A连接A1C1,AC,则A1C1AC,所以A,C,C1,A1四点共面,所以A1C面ACC1A1.因为MA1C,所以M面ACC1A1,又M面AB1D1,所以M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上,同理O在面ACC1A1与面AB1D1的交线上,所以A,M,O三点共线,故选A.5已知m,n为异面直线,m平面,n平面.直线l满足lm,ln,l,l,则()A且lB且lC与相交,且交线垂直于lD与相交,且交线平行于l解析:选D由于m,n为异面直线,m平面,n平面,则平面与平面必相交,但未必垂直,且交线垂直于直线m,n,又直线l满足lm,ln,则交线平行于l,故选D.6已知直线l平面,直线m平面,有以下四个命题:lm;lm;lm;lm.其中正确的两个命题是()A BC D解析:选D若,l,则l,又m,所以lm,故正确;若,l,m,则l与m可能异面,所以不正确;若lm,l,则m,又m,则,所以正确;若l,lm,m,则与可能相交,故不正确综上可知,选D.7.如图所示,P为矩形ABCD所在平面外一点,矩形对角线交点为O,M为PB的中点,给出五个结论:OMPD;OM平面PCD;OM平面PDA;OM平面PBA;OM平面PBC.其中正确的个数是()A1 B2C3 D4解析:选C显然OMPD,又PD平面PCD,PD平面PDA.OM平面PCD,OM平面PDA.正确8把正方形ABCD沿对角线AC折起,当以A,B,C,D四点为顶点的三棱锥体积最大时,直线BD和平面ABC所成的角的大小为()A90 B60C45 D30解析:选C当三棱锥DABC体积最大时,平面DAC平面ABC,取AC的中点O,则DBO是等腰直角三角形,即DBO45.二、填空题(本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分请把正确答案填在题中的横线上)9在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1,CC1的中点,则在空间中与三条直线A1D1,EF,CD都相交的直线有_条解析:如图,在A1D1上任取一点P,过点P与直线EF作一个平面,因为CD与平面不平行,所以它们相交,设CDQ,连接PQ,则PQ与EF必然相交由点P的任意性,知有无数条直线与A1D1,EF,CD都相交答案:无数10已知a,b表示直线,表示平面若a,b,ab,则;若a,a垂直于内任意一条直线,则;若,a,b,则ab;若a,b,ab,则.上述命题中,正确命题的序号是_解析:对可举反例,如图,需b才能推出;对可举反例说明,当不与,的交线垂直时,即可知a,b不垂直;根据面面、线面垂直的定义与判定知正确答案:11.如图所示,直线a平面,点A在另一侧,点B,C,Da,线段AB,AC,AD分别交于点E,F,G.若BD4,CF4,AF5,则EG_.解析:Aa,则点A与直线a确定一个平面,即平面ABD.因为a,且平面ABDEG,所以aEG,即BDEG,所以.又,所以.于是EG.答案:12.如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,侧面对角线AB1,BC1上分别有一点E,F,且B1EC1F,则直线EF与平面ABCD的位置关系是_,EF与BB1的位置关系是_解析:过点E作EGAB,交BB1于点G,连接GF,则.B1EC1F,B1AC1B,FGB1C1BC.又EGFGG,ABBCB,平面EFG平面ABCD.又EF平面EFG,EF平面ABCD.又B1BAB,B1BBC,ABBCB,B1B平面ABCD,B1B平面EFG.又EF平面EFG,B1BEF.答案:平行垂直13.如图,四面体PABC中,PAPB,平面PAB平面ABC,ABC90,AC8,BC6,则PC_,PC与平面ABC所成角的余弦值为_解析:取AB的中点E,连接PE.PAPB,PEAB.又平面PAB平面ABC,PE平面ABC.连接CE,PECE,PCE为直线PC与平面ABC所成的角ABC90,AC8,BC6,AB2,PE,CE,PC7,cosPCE.答案:714.在四棱锥PABCD中,PA平面ABCD,ADBC,BC2AD4,ABCD,则BD与平面PAC的位置关系是_; 若二面角APCD的大小为60,则AP的值为_解析:设O为AC与BD的交点,作DEBC于点E.由四边形ABCD是等腰梯形易证得DBCBCA,由已知条件易得CE1,则DE3,所以BEDE,从而得DBCBDEBCA45,所以BOC90,即ACBD.由PA平面ABCD得PABD,又PAACA,所以BD平面PAC.作OHPC于点H,连接DH.又DO平面PAC,故DOPC.又DOOHO,所以PC平面DOH,从而得PCDH.故DHO是二面角APCD的平面角,所以DHO60.易知DO,AC3,因为在RtDOH中,tanOHDtan 60,所以OH.在RtCOD中,OC2.在RtPAC中,.设PAx,可得,解得x,即AP.答案:垂直15如图1所示的等边ABC的边长为2a,CD是AB边上的高,E,F分别是AC,BC边的中点现将ABC沿CD折叠,使平面ADC平面BDC,如图2所示,则直线AB与平面DEF的位置关系是_,四面体ADBC的外接球体积与四棱锥DABFE的体积之比为_解析:E,F分别为AC,BC的中点,ABEF,AB平面DEF,EF平面DEF,AB平面DEF.以DA,DB,DC为棱补成一个长方体,则四面体ADBC的外接球即为长方体的外接球设球的半径为R,则a2a23a2(2R)2,R2a2,于是球的体积V1R3a3.又VABDCSBDCADa3,VEDFCSDFCADa3,.答案:平行三、简答题(本大题共5小题,共74分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16(本小题满分14分)在空间四边形ABCD中,E,H分别是AB,AD的中点,F,G分别是BC,CD上的点,且.求证:(1)E,F,G,H四点共面;(2)三条直线EF,GH,AC交于一点证明:(1)在ABD中,E,H分别是AB和AD的中点,EH綊BD.在CBD中,FG綊BD.EHFG.E,F,G,H四点共面(2)由(1)可知,EHFG,且EHFG,所以它们的延长线必相交于一点,设为点P.AC是平面ABC和平面ADC的交线,EF平面ABC,GH平面ADC,平面ABC平面ADCP,由公理3知PAC.三条直线EF,GH,AC交于一点17.(本小题满分15分)如图,三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直,PDPC.(1)证明:BC平面PDA;(2)证明:BCPD.证明:(1)在长方形ABCD中,BCAD,BC平面PDA,AD平面PDA,BC平面PDA.(2)取CD的中点H,连接PH.PDPC,PHCD.又平面PDC平面ABCD,平面PDC平面ABCDCD,PH平面PDC,PH平面ABCD.又BC平面ABCD,PHBC.在长方形ABCD中,BCCD,PHCDH,BC平面PDC.又PD平面PDC,BCPD.18.(本小题满分15分)如图,平行六面体ABCDA1B1C1D1的底面是菱形,C1CBC1CDBCD60.(1)求证:C1CBD.(2)当的值为多少时,可使A1C平面C1BD?解:(1)证明:连接A1C1,AC,设AC和BD交于点O,连接C1O.四边形ABCD是菱形,ACBD,BCCD.又BCC1DCC1,C1C是公共边,C1BCC1DC,C1BC1D.DOOB,C1OBD.又ACC1OO,BD平面ACC1A1.又C1C平面ACC1A1,C1CBD.(2)由(1)知BD平面AC1.A1C平面ACC1A1,BDA1C.当1时,平行六面体的六个面是全等的菱形同理可证BC1A1C.又BDBC1B,A1C平面C1BD.19.(本小题满分15分)如图所示,在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB2,BB1BC1,E为D1C1的中点,连接ED,EC,EB和DB.(1)求证:平面EDB平面EBC;(2)求二面角EDBC的正切值解:(1)证明:在
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