主讲：杨先林 教授,高等数学基础一元函数微分学重难点讲解,一、函数 1.函数的定义域 2.复合函数 3.函数的属性 4.建立函数关系举例,一、函数的概念 1.函数的定义域,定义设 D 为一个非空实数集合，若存在确定的对应规则 f ，使得对于数集 D 中的任意一个数 x , 按照 f 都有唯一确定的实数 y 与之对应，则称 f 是定义在集合 D 上的函数 .,D : f 的定义域,的定义域 .,解该函数的定义域应为满足不等式组,解此不等式组，得其定义域,用集合表示为,的 x 值的全体，,确定函数,例 1,2.复合函数,若函数 y = F(u),定义域为 U1 ,函数 u = j (x) 的值 域为 U2,则 y 通过变量 u 成为 x 的函数,这个函数称为由函数 y = F(u) 和函数 u = j (x) 构成的 复合函数,其中变量 u 称为中间变量.,记为,例 2,解 方法一 令 u = x 1, 得 f (u) = (u 1)2,再将,u = 2x 1 代入,即得复合函数,例 2,方法二 因为 f (x 1) = x2 = (x 1) + 12,于是问题转化为,求 y = f (x) = (x 1)2 与 j (x) = 2x 1 的复合函数 f j (x) ,因此,3.函数的属性,设函数 y = f (x) 的定义域关于原点对称，如果对于定义域中的任何 x，都有 f (x) = f (- x) ，则称 y = f (x) 为偶函数；如果有 f (- x) = - f (x) ，则称 f (x) 为奇函数. 不是偶函数也不是奇函数的函数，称为非奇非偶函数.,（1）奇偶性,（2）周期性,设函数 y = f (x) 的定义域为 (- , + ) ，若存在正数 T，使得对于一切实数 x，都有：,则称 y = f (x) 为周期函数.,f (x + T) = f (x).,设 x1 和 x2 为区间 (a, b) 内的任意两个数，,若当 x1 x2 时，有,则称该函数在区间 (a, b) 内单调增加，,或称递增；,若当 x1 x2 时，有,则称该函数在区间 (a, b) 内单调减少，,或称递减；,（3）单调性,函数的递增、递减统称函数是单调的.,从几何直观来看，,递增，就是当 x 自左向右变化时，函数的图形上升；,递减，就是当 x 自左向右变化时，函数的图形下降 .,a,a,b,b,y = f (x),y = f (x),设函数 f (x) 在区间 I 上有定义，若存在一个正数 M ，当 x I 时，恒有,成立，则称函数 f (x) 为在 I 上的有界函数，,(4) 有界性,如果不存在这样的正数 M，则称函数 f (x) 为在 I 上的无界函数 .,例 3 由直线 y = x， y = 2 x 及 x 轴所围的等腰三角形 OBC ，,x,y = x,y = 2 x,在底边上任取一点 x 0, 2.过 x 作垂直 x 轴的直线，将图上阴影部分的面积表示成 x 的函数 .,解 设阴影部分的面积为 A ，,当 x 0, 1) 时，,4.建立函数关系举例,当 x 1, 2 时，,所以,x,y = x,1,2,y = 2x,二、极限与连续 1.函数的极限 2.极限的运算 3.两个重要极限 4.函数的连续性,一般地，当 x 无限接近于 x0 时，函数 f (x) 趋向于 A 的定义如下：,定义如果当 x 无限接近于 x0 时，恒有| f (x) - A| e (e 是任意小的正数)，,则称当自变量 x 趋向于 x0 时，函数 f (x) 趋向于 A ，记作,1.函数的极限,A - e f (x) A + e,几何解释 :,A,A+e,A-e,y = f (x),x0 - d,x0 + d,x0,不管它们之间的距离有多么小. 只要 x 进入 U(,是指：当 0 |x - x0| d 时， 恒有 | f (x) - A | e . 即,作两条直线 y = A - e 与 y = A + e .,d ) 内，曲线 y = f (x) 就会落在这两条直线之间.,例 4试求函数,解 (1)因为,函数 f (x) 在 x = 0 处左、右极限存在但不相等，,所以当 x 0 时， f (x) 的极限不存在.,(2) 因为,函数 f (x) 在 x = 1 处左、右极限存在而且相等，所以当 x 1 时， f (x) 的极限存在且,2.极限的运算,解,例5,3.两个重要极限,第一个重要极限,第二个重要极限,解,例 6,解因为,所以，有,例 7,4.函数的连续性,定义 设函数 y = f (x) 在 x0 的一个邻域内有定义，,则称函数 y = f ( x ) 在 x0 处连续，或称 x0 为函数 y = f (x) 的连续点 .,且,若函数 y = f (x) 在点 x0 处有：,则分别称函数 y = f (x) 在 x0 处是左连续或右连续.,由此可知，函数 y = f (x) 在 x0 处连续的充要条件可表示为：,即函数在某点连续的充要条件为函数在该点处左、右连续,例 8,证因为,且 f (0) = 1，即 f (x) 在 x = 0 处左，右连续，所以它在 x = 0 处连续 .,三、导数与微分 1.导数的概念 2.求导法 3.微分法,定义设函数 y = f (x) 在点 x0 的一个邻域内有定义.,在 x0 处给 x 以增量 x (x0 + x 仍在上述邻域内)，,函数 y 相应地有增量,y = f (x0 + x ) - f (x0) ，,1.导数的概念,则称此极限值为函数y = f (x)在点 x0 处的导数.,即,此时也称函数 f (x) 在点 x0 处可导. 如果上述极限不存在，则称 f (x) 在 x0 处不可导.,函数 y = f (x) 在点 x0 处的导数的几何意义,就是曲线 y = f (x) 在点 (x0 ，f (x0) 处的切线的斜率,即,tan = f (x0).,y = f (x),x0,P,导数的几何意义,例 9求曲线 y = x2 在点 (1, 1) 处的切线和法线方程.,解 (x2) |x=1 = 2 , 即点 (1, 1) 处的切线斜率为 2 ，,所以, 切线方程为:,y 1 = 2(x - 1).,即,y = 2 x - 1.,法线方程为,即,定义,存在，则称此极限值为 f (x) 在点 x0 处的左导数，记作 f -(x0)；,则称此极限值为 f (x) 在点 x0 处的右导数，记作 f +(x0) .,显然，f (x) 在 x0 处可导的充要条件是 f -(x0) 及 f +(x0) 存在且相等 .,如果,同样，,定理如果函数 y = f (x) 在点 x0 处可导, 则 f (x) 在点 x0 处连续，其逆不真.,可导与连续的关系,在 x = 1 处的连续性与可导性.,解先求在 x = 1 时的 y .,当 x 0 时，,y = f (1 + x) - f (1),= (1 + x)2 + (1 + x) - 2,= 3x + (x)2，,当 x 0 时，,y = f (1+ x) - f (1) = 2(1+ x)3 - 2,= 6x + 6(x)2 + 2(x)3 ，,= 6 + 6x + 2(x)2 .,从而知,因此,所以函数在 x = 1 处连续，但不可导.,容易算出,又,(u(x) v(x) = u(x) v (x);,(u(x)v(x) = u(x)v(x) + u(x)v(x);,2.求导法,定理 设函数 y = f (u)， u = (x) 均可导，,则复合函数 y = f ( (x) 也可导.,且,或,或,例 11设 y = (2x + 1)5，求 y .,解把 2x + 1 看成中间变量 u，,y = u5，u = 2x + 1,复合而成，,所以,将 y = (2x + 1)5看成是,由于,定义设函数 y = f (x) 在点 x 的一个邻域内有定义，,y = Ax + ，,其中 A 与 x 无关， 是 x 的高阶无穷小量，,则称 Ax 为函数 y = f (x) 在 x 处的微分，记作 dy，即,dy = Ax .,也称函数 y = f (x) 在点 x 处可微.,如果函数 f (x) 在点 x 处的增量 y = f (x + x ) - f (x) 可以表示为,3. 微分法,解因为,所以,例 12求函数 y = 2ln x在x 处的微分，并求当 x = 1 时的微分(记作dy | x = 1).,微分的四则运算,定理 设函数 u、v 可微，,则,d(u v) = du dv.,d(uv) = udv + vdu.,例 13设 y = excos x，求 dy .,解,dy = d(excos x),= ex dcos x + cos xdex,= ex (cos x - sin x)dx .,复合函数的微分,定理 设函数 y = f (u)， u = (x) 均可微，,dy = f (u) (x) dx .,则 y = f ( (x) 也可微，,且,由于du = (x) dx，,所以上式可写为,dy = f (u) du .,从上式的形式看，,它与 y = f (x) 的微分 dy = f (x)dx 形式一样，这叫一阶微分形式不变性.,其意义是：不管 u 是自变量还是中间变量，函数 y = f (u) 的微分形式总是 dy = f (u)du .,例 14设 y = sin(2x)，求微分 dy .,解利用微分形式不变，,有,dy = cos 2x d(2x) = 2cos 2xdx .,隐函数的微分法,例 15 设方程 x2 + y2 = R2(R 为常数)确定函数 y = y(x)，,解 在方程两边求微分，,d(x2 + y2 ) = dR2，,即,2xdx + 2ydy = 0.,由此，当 y 0 时解得,或,四、导数的应用 1.中值定理 2.洛必塔法则 3.函数的单调性和极值 4.函数的最大值和最小值,1.中值定理,罗尔定理如果函数 y = f (x) 在闭区间a, b上连续，,那么至少存在一点 x (a, b) ，使 f (x ) = 0.,且在区间端点处的函数值相等，即 f (a) = f (b) ，,在开区间 (a, b)内可导，,x,罗尔定理的几何意义是：如果连续曲线除端点外处处都具有不垂直于 Ox 轴的切线，,那么其上至少有一条平行于 Ox 轴的切线(如图所示).,且两端点处的纵坐标相等，,拉格朗日定理若函数 f (x) 在闭区间a, b上连续，,在开区间(a, b)内可导，,使得,则至少存在一点 x (a, b)，,拉格朗日中值定理的几何意义：,如果连续曲线除端点外处处都具有不垂直于 Ox 轴的切线，,那么该曲线上至少有这样一点存在，,C,在该点处曲线的切线平行于联结两端点的直线(如图所示).,2.洛必达法则,定理设函数 f (x) 和 j(x) 在 x0 的某邻域(或 | x | M， M 0)内可微，,且当 x x0 (或 x ) 时， f (x) 和 j (x) 的极限为零，,如果 的极限存在,(或为)，则当 x x0 (或 x ) 时，它们之比的极限存在且,j (x) 0,例 16,解,定理设函数 y = f (x) 在区间 (a, b) 内可微，,(1)若当 x (a, b)时，f (x) 0，,则 f (x) 在(a, b)内单调递增；,(2)若当 x (a, b)时， f (x) 0，,则 f (x) 在(a, b)内单调递减.,3.函数的单调性和极值,确定某个函数的单调性的一般步骤是：,(1)确定函数的定义域；,(2)求出使 f (x) = 0 和 f (x) 不存在的点，,并以这些点为分界点,将定义域分为若干个子区间；,(3)确定 f (x) 在各个子区间内的符号，,从而判定出 f (x