【步步高】（江苏专用）2017版高考数学 专题3 导数及其应用 23 导数与学科知识的综合应用 文训练目标(1)导数的综合应用；(2)压轴大题突破.训练题型(1)导数与不等式的综合；(2)利用导数研究函数零点；(3)利用导数求参数范围.解题策略(1)不等式恒成立(或有解)可转化为函数的最值问题，函数零点可以和函数图象相结合；(2)求参数范围可用分离参数法.1已知函数f(x)sin xcos x，f(x)是f(x)的导函数(1)求函数F(x)f(x)f(x)(f(x)2的最大值和最小正周期；(2)若f(x)2f(x)，求的值2已知函数f(x)axex(a0)(1)若a，求函数f(x)的单调区间；(2)当1a1e时，求证：f(x)x.3已知函数f(x)axln x，aR，(1)求f(x)的单调区间；(2)设g(x)x22x1，若对任意x1(0，)，总存在x20,1，使得f(x1)g(x2)，求实数a的取值范围4(2015陕西)设fn(x)xx2xn1，x0，nN，n2.(1)求fn(2)；(2)证明：fn(x)在内有且仅有一个零点(记为an)，且0ann.5(2015山东济宁育才中学上学期期中)已知aR，函数f(x)ax2ln x.(1)当a1时，求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线的斜率；(2)讨论f(x)的单调性；(3)是否存在实数a，使得方程f(x)2有两个不等的实数根？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由答案解析1解(1)已知函数f(x)sin xcos x，则f(x)cos xsin x，代入F(x)f(x)f(x)(f(x)2，可得F(x)cos 2xsin 2x1sin(2x)1，当2x2k(kZ)，即xk(kZ)时，F(x)max1，其最小正周期T.(2)由f(x)2f(x)，易得sin xcos x2cos x2sin x，解得tan x.2(1)解当a时，f(x)xex.f(x)ex，令f(x)0，得xln 2.当x0；当xln 2时，f(x)0，f(x)x成立当1a1e时，F(x)ex(a1)exeln(a1)，当xln(a1)时，F(x)ln(a1)时，F(x)0，F(x)在(，ln(a1)上单调递减，在(ln(a1)，)上单调递增，F(x)F(ln(a1)eln(a1)(a1)ln(a1)(a1)1ln(a1)，10,1ln(a1)1ln(1e)10，F(x)0，即f(x)x成立综上，当1a1e时，f(x)x.3解(1)f(x)a(x0)当a0时，由于x0，故ax10，f(x)0，所以f(x)的单调递增区间为(0，)当a0，f(x)单调递增在区间(，)上，f(x)0，f(x)单调递减综上所述，当a0时，f(x)的单调递增区间为(0，)；当a0时，f(x)的单调递增区间为(0，)，f(x)的单调递减区间为(，)(2)由已知，转化为f(x)maxg(x)max，又g(x)maxg(0)1.由(1)知，当a0时，f(x)在(0，)上单调递增，值域为R，故不符合题意当a1ln(a)，解得a0)，f(x)x，x0，kf(1)0，所以曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线的斜率为0.(2)f(x)ax，x0.当a0时，f(x)0时，令f(x)0，解得x(负值舍去)当x(0，)时，f(x)0，f(x)在(，)上单调递增(3)存在a(0，e3)，使得方程f(x)2有两个不等的实数根理由如下：由(2)可知当a0时，f(x)0时，函数f(x)在(0，)上单调递减，在(，)上单调递增，使得方程f(x)2有两个不等的实数根，等价于函数f(x)的极小值f()2，即f()ln a2，解得0ae3，所以a的取值范围是(0，e3)4