数学竞赛讲座(多元函数积分学)-

,多元函数积分学,二重积分的换元法,三重积分的换元法,广义球坐标变换的Jacobi行列式为,其中,重积分计算的关键:,1. 选择合适的坐标系,2.确定合适的积分次序以及积分限,（综合考虑积分区域和被积函数）,计算题,例 1,计算:,解,考虑用极坐标变换先弄清直角坐标系下的积分区域 D，,由此,可以画出直角系下的积分区域的图形，,例2,例3,解,由对称性,例4 计算,解曲面坐标变换的目的, (1)使积分区域变得尽量简单, (2)简化被积函数及计算。,引入坐标变换：,例5 设心脏线的方程为,求它与极轴围成的平面,图形绕极轴所得旋转体的体积。,解,若视极轴为 z 轴，则,极坐标恰好是球坐标,的,于是体积,例6,解,由对称性,例7,解,于是,例8,解,二. 证明题,例一,证明: 采用极坐标,将式中r的换成x,即得证.,由对称性知,例2,证,证明：,由积分区域D关于y=x对称，所以,从而,例3,例4,解：,例4,例5,例 6,分析：,则本题得证.,例7,证明,例 8,证,由积分中值定理有,例 9,证,由积分中值定理有,例10,证,例11,证,由题设条件可得,故有,（分部积分）,（分部积分）,由分部积分法得,故,证,证,例16,