一、选择题（每小题3分，共15分）1）若在点处可微，则下列结论错误的是（ B ）A、在点处连续B、在点处连续C、在点处存在D、曲面在点处有切平面2）二重极限值为（ D ）A、0 B、1 C、 D、不存在3）已知曲面的方程为，则（ B ） A、 B、 C、1 D、分析：4）已知直线和平面则（ B ） A、在内 B、与平行，但不在内 C、与垂直 D、不与垂直，不与平行5）用待定系数法求微分方程的一个特解时，应设特解的形式（ B ） A、 B、 C、 D、二、填空题（每小题3分，共15分）1），则2）曲线为原点到点的直线段，则曲线积分的值等于3）交换积分次序后，4）函数在点沿方向的方向导数为5）曲面在点处的法线方程是三、（本题7分）计算二重积分其中是由抛物线及直线所围成的闭区域。解：原式 四、（本题7分）计算三重积分，其中是由柱面及平面围成的闭区域。解：方法一：利用柱面坐标计算原式方法二、截片法原式五、（本题7分）计算，其中为旋转抛物面的上侧。解：方法一、利用两类曲面积分的联系对应侧的法向量为原式 方法二、利用高斯公式，补充曲面并取下侧原式六、（本题7分），其中为从点沿椭圆到点的一段。解：原式七、（本题7分）设函数证明：1）在点处偏导数存在 2）在点处不可微证明：1）因为所以在点处偏导数存在2）因为当取时随之不同极限值也不同，即所以此函数在处不可微。八、（本题7分）设，具有连续二阶偏导数，求解： ，九、（本题7分）设是微分方程的一个解，求此微分方程的通解。解：因为，原方程为这是一个一阶线性微分方程，其通解为十、（本题8分）在第一卦限内作椭球面的切平面，使该切平面与三坐标平面所围成的四面体的体积最小，求切点的坐标。解：设为椭球面上在第一象限的一点，过此点的切平面方程为化成截距式方程此切平面与坐标面围成四面体的体积为。（下面我们去掉下标0）要求满足条件的最小值，只需求满足条件的最大值。由拉格朗日乘数法，只需求以下函数的驻点 得由此得，所以当时，有最小体积，最小体积为。切点坐标为。十一、（化工类做）（本题7分）已知直线和，证明：，并求由所确定的平面方程。证明：直线上任取两点，则是的方向向量；的一个方向向量为，因为，所以设所确定的平面方程为，它经过点和点，所以所求方程为十二、(化工类做)（本题7分）设曲线积分与路径无关，其中连续可导，且，计算。解：，由得，所以