1 2005 年沈阳市中等学校招生统一考试 数学试卷 *考试时间120 分钟，试卷满分150 分 一、选择题（下面各题的备选答案中，只有一个是正确的，将正确的答案的序号填在题后 的括号内。每小题3 分，共 24 分） 1函数 2 x y x 中自变量x 的取值范围是（） A2x B2x C20 xx且D0 x 2在半径为1 的 O 中， 120o的圆心角所对的弧长是（） A 3 B 2 3 CD 3 2 3已知直线yxb，当0b时，直线不经过（） A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限 4用换元法解分式方程 2 2 2 331xx xx ，若设 2 xxy，则原方程可化为关于y的 整式方程为（） A 2 320yyB 2 320yyC 2 320yyD 2 31y y 5抛物线 2 3(8)2yx的顶点坐标为（） A （2，8）B （8，2）C （8，2）D （8，2） 6如图 1，梯形护坡石坝的斜坡AB的坡度i1: 3，坝高BC为 2 米，则斜坡AB的长是 （） A2 5米B2 10米 C4 5米D6米 7已知两圆的半径分别是2 和 3，两圆的圆心距是4，则这两个圆的位置关系是（） A外离B外切C相交D内切 8沈阳市的春天经常刮风，给人们的出行带来很多不便，小明 观测了 4 月 6 日的连续12 个小时的风力变化情况，并画出了 风力随时间变化的图象（如图2） ，则下列说法正确的是 （） A 在 8 时至 14 时，风力不断增大 B 在 8 时至 12 时，风力最大为7 级 C 8 时风力最小D20 时风力最小 得 分评卷人 A B C 2 二、填空题 （每小题 3分，共 24分） 9点P（3，4）关于原点对称的点的坐标是 10一元二次方程 2 210 xx的根是 11一组数据1，0，1，2，3的方差是 12在ABC中，2AB，2AC，B30o，则BAC的度 数是 13如图 3，PB是 O的切线， A是切点， D是AC上一点， 若 BAC70o， 则 ADC的度数是 14已知圆锥的底面半径是2，母线长是 4，则圆锥的测面积 是 15已知圆内接正六边形的边长是1，则这个圆的内接正方形的边长 是 16如图 4， M与 x 轴相交于点 A（2，0） ，B（8，0） ，与y轴相切于点 C， 则圆心 M的坐标是 三、 （第17小题 6分，第 18、19小题各 8分，第 20小题 10分，共 32分） 17计算： 11 3 18504 52 18解方程： 63 1 (1)(1)1xxx 得 分评卷人 图3 PB C O A D 图 4 x y M C B O A 3 19阅读下列解题过程： 题目：已知方程 2 10 xmx的两个实数根是p、q，是否存在m 的值，使得p、q 满足 11 1 pq ？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由. 解：存在满足题意的m 值 .由一元二次方程的根与系数的关系得 p+q=m，pq=1. 11 1 pqm m pqpq . 11 1 pq ， m1. 阅读后回答下列问题：上面的解题过程是否正确？若不正确，写出正确的解题过程. 20如图 5，已知直线 1 yxm与x轴、y轴分别交于点A、B，与双曲线 2 k y x （x 2 y. 四、（每小题 10分，共 20分） 21某工厂中由若干个形状完全相同的直角三角形铁 板（如右图）已知ACB 90， AC 3，BC=4.现准备对两块铁板余 料进行裁剪，方案如下： 方案一：如图6，裁出一个扇形，圆心为点C，并且与AB 相切于点D； 方案二：如图7，裁出一个半圆，圆心O 在 BC 上，并且与AB 、AC 分 别相切于点D、 C； 分别计算以上两种方案裁剪下来的图形的面积，并把计算结果直接填 在横线上. 按照方案一裁出的图形面积是. 按照方案二裁出的图形面积是. 得 分评卷人 图 5 x y OA B C D 图6 D A CB 图7 D O A CB 4 写出按照方案二裁出的半圆面积的计算过程. 22如图 8 所示， A、B 为两个村庄， AB 、BC、CD 为公路， BD 为田地， AD 为河宽，且 CD 与 AD 互相垂直 .现在要从E 处开始铺设通往村庄A、村庄 B 的一条电缆，共有如下 两种铺设方案： 方案一：EDAB； 方案二：ECBA. 经测量得4 3AB千米，10BC千米，6CE千米， BDC 45， ABD 15. 已知：地下电缆的修建费为2 万元千米，水下电缆的修建费为4 万元 千米 . 求出河宽AD（结果保留根号） ； 求出公路CD的长； 哪种方案铺设电缆的费用低？请说明你的理由. 五、 （12 分） 232005 年沈阳市春季房交会期间，某公司对参加本次房交会的消费者进行了随机的问卷 调查，共发放1000 份调查问卷，并全部回收. 根据调查问卷，将消费者年收入情况整理 后，制成表格一；将消费者打算购买住房的面积的情况整理后，制成表格二，并作出部 分频率分布直方图（如图9） 表格一（被调查的消费者年收入情况） 年收入（万元）1.21.83510 被调查的消费者数（人）2005002007030 表格二（被调查的消费者打算购买住房的面积的情况，注：住房面积取整数） 分组（平方米）频数频率 40.560.50.04 60.580.50.12 80.5100.50.36 100.5120.5 120.5140.50.20 140.5160.50.04 得 分评卷人 祝贺你已经答完多半的题 目，一定要安排好剩余的 答题时间 村 庄 村 庄 图 8 E C D B A 图 9 住房面积（平方米） 频率 组距 160.5140.5120.5100.580 .560.540 .5 5 图11 F D E O A C B 合计10001.00 请你根据以上信息，回答下列问题： 根据表一可得，被调查的消费者平均年收入为万元；被调查的消费者年收入 的中位数是 万元；在平均数、中位数这两个数中，更能反映出被调查的消费 者年收入的一般水平. 根据表二可得，打算购买100.5 120.5 平方米房子的人数是人；打算购买住 房面积不超过100 平方米的消费者的人数占被调查人数的百分数是 . 在图 9 中补全这个频率分布直方图. 六、（12分） 24如图 10,ABC内接于O，AD平分BAC，交直线BC于点E，交O于点D. 过点D作MNBC，求证：MN 是O 切线； 求证：AB ACAD AE 如图 11，AE平分 BAC的外角 FAC ，交 BC的延长线于 点 E， EA的延长线交O于点 D.结论AB ACAD AE是否 仍然成立？如果成立，请写出证明过程；如果不成立，请说 明理由 . 七、 （12分） 25为实现沈阳市森林城市建设的目标，在今年春季的绿化工作中，绿化办计划为某住宅小 区购买并种植400 株树苗某树苗公司提供如下信息： 信息一：可供选择的树苗有杨树、丁香树、柳树三种，并且要求购买杨树、丁香树的数量 相等 . 信息二：如下表： 树苗每棵树苗批发价格（元）两年后每棵树苗对空气的净化指数 杨树3 0.4 丁香树2 0.1 柳树p 0.2 设购买杨树、柳树分别为x株、y株 . 得 分评卷人 得 分评卷人 NM 图 10 E D C O A B 6 写出y与x之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； 当每株柳树的批发价p等于 3 元时，要使这400 株树苗两年后对该住宅小区的空气净 化指数不低于90， 应该怎样安排这三种树苗的购买数量，才能使购买树苗的总费用最低？ 最低的总费用是多少元？ 当每株柳树批发价p（元）与购买数量 y（株）之间存在关系30.005py时， 求购买树苗的总费用w（元）与购买杨树数量x（株）之间的函数关系式（不要 求写出自变量的取值范围） 八、（14分） 26如图 12，直线 3 3 4 yx与x 轴相交于点A，与y 轴相交于点B，点C(m，n)是第 二象限内任意一点，以点 C为圆心的圆与x 轴相切于点E，与直线AB相切于点F. 当四边形OBCE是矩形时，求点C的坐标； 如图 13，若C与y 轴相切于点D，求C的半径r； 求 m与n之间的函数关系式； 在C的移动过程中，能否使OEF是等边三角形（只回答“能”或“不能”）？ 得 分评卷人 认真读题， 弄懂题意 图12 x y F E B O A C 图13 x y D F E B O A C 7 沈阳市 2005 年中考数学试题参考答案 选择题，每小题3 分： 1.C 2.A 3.D 4.B 5.A 6.C 7.C 8.D 填空题， 每题 3 分：9.x(x+y)(x-y) 10. 2 1 11.15o或 105o12.12 1 x，12 2 x 13.圆14.8 15.8 16.88 17.原式 4 3 133 4 1 33 18. 解 ： 原 式 yx yx y yx yx y y yx yxyx yxyx 2 2 2 )( )( )()( 2 ， 当x=21， y=21时，原式 =2 )21()21( )21()21( . 19.解：设甲班平均每人捐款x 元，则乙班平均每人捐款x 5 4 元，根据题意列方程，得 2 5 4 232300 x x ，解得 x=5.经检验 x=5 是原方程的根 .答：甲班平均每人捐款5 元. 20.解：选择A 装置 . 开始 A 盘1 6 8 B 盘4 5 7 4 5 7 4 5 7 （1，4） （1，5） （1，7） （6，4） （6，5） （6，7） （8，4） （8，5） （ 8， 7） 或 4 5 7 1 （ 1，4）（1，5）（1，7） 6 （ 6，4）（6，5）（6，7） 8 （ 8，4）（8，5）（8，7） P(A)= 9 5 ，P(B)= 9 4 .P(A) P(B) ，选择A 装置 . 21.解：图A 向上平移4 个单位长度得到图B，图 B 向右平移4 个单位长度后再以点P2 为旋转中心，顺时针旋转90 o得到图 C； P2（4，4） ；如图即为所求. 22.解：过点B 作BFAD交 DA的延长线于点F.在 RtBFA 中， BFA=60， BF=AB sin60 =43 2 3 =6.AF=AB cos60 =432 1 =23.CDAD ， BDC=45 ， B A 8 BDF=45 .在Rt BFD中，BDF=45 ，DF=BF=6. AD=DF-AF=6-23.答：河宽（ 6-23）千米 .过点 B 作 BGCD 于点 G ， 易 证 四 边 形BFDG为 正 方 形 ， BG=BF=6. 在RtBGC中 ， CG= 2222 610BGBC=8.CD=CG+GD=14. 答：公路CD 长 14 千米 .方案一费用低.由得 DE=CD-CE=8 ， 方案一的费用为2 （DE+AB ） +4AD=40 （万元）；方案二的费用为2（CE+BC+AB ） =（32+83）万元 . 而 4032+8 3，方案一的费用低 . 23.2.39；1.8；中位数；240；52%；如图 24.证明：四边形ABCD 是梯形， AD/BC ，AB=CD ， ABC= DCB. 又 BC=CB ， AB=DC， ABC DCB. ACB= DBC. 又 GE/AC， GEB= ACB. GEB= DBC. EG=BG. EG/OC， EF/OG ， 四边形EGOF 是平行四边形， EG=OF， EF=OG. 四边形EGOF 的周长 =2（OG+GE ）=2（OG+GB ）=20B.方法 1：如图 1，已知 矩形 ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O，E 为 BC 上的一个动点（点E 不与 B、C 两 点重合），EF/BD ，交 AC 于点 F，EG/AC 交 BD 于点 G.求证：四边形EFOG 的周长等于 2OB；正确画出图形.方法 2：如图 2，已知正方形