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五年级秋季班 第二讲 圆和扇形的周长与面积 曹威 第二讲 圆和扇形的周长和面积 2.1 第二讲第二讲 圆和扇形的周长与面积圆和扇形的周长与面积 一一、知识点概括知识点概括 1 1、基础知识介绍、基础知识介绍 (半径半径 r,直径直径 d,周长周长 C,面积面积 S,只要知道一个就可以推出另外三个,只要知道一个就可以推出另外三个,1推推 3) 基础练习:1已知圆的半径为 4,求其直径,周长,和面积? 2已知圆的直径为 12,求其半径,周长,面积? 3已知圆的周长为 75.36,求其半径,直径,面积? 4已知圆的面积为 314,求其半径,直径,周长? 通过不通过不段段的基础练习使学员熟练掌握圆的周长的基础练习使学员熟练掌握圆的周长、面积公式。、面积公式。 例1、 大圆周长与 4 个小圆的周长是一样长的。因为 4 个小圆的直径和等于大圆的直径,则 C= ,4 小圆周长和=大圆周长 和。 + 大 拓展练习:拓展练习: (1 1)已知半径为 4,求半圆图形的周长?(除了算出 C 以外,还要再加一个直径的长度) (2 4) =12.56+8=20.56 (2 2)半径增加 2 厘米,周长会增加多少厘米?半径增加 2,直径增加 4,则周长增加 4 12.56 2 2、曲线面积中常用图形面积总结、曲线面积中常用图形面积总结 (1) 扇形面积扇形面积 扇 扇 (2) 弓形面积:弓形面积: 弓 弓 扇 扇 三角形 三角形 (3) 谷子面积:谷子面积: 谷 谷 弓 弓或 或 谷 谷 两两 扇形和减去一正方形面积(即半圆扇形和减去一正方形面积(即半圆 正方形)图如例正方形)图如例 (4) 弯角面积:弯角面积: 弯角 弯角 正方形 正方形 扇 扇 (5) 圆环面积:圆环面积: 环 环= = ( ( ) 3、常用方法:割补、平移、旋转割补、平移、旋转,其中旋转是本将的重点也是难点。 二、例题分析。二、例题分析。 例 1,例 2 为基础知识运用(总结略) 1 1、割补法、割补法(例 3) :中间谷子型阴影面积可以一分为 2,正好可以分别与另两个阴影和在一起,则,3 个分开的阴影合并以后 即 为 扇 形 面 积 减 去 三 角 形 面 积 。 扇= = =12.56 三角 阴影 12.56-8=4.56 (作业 2,3 题都为割补练习) 五年级秋季班 第二讲 圆和扇形的周长与面积 曹威 第二讲 圆和扇形的周长和面积 2.2 F E A B C D F E A B C D E D C B A G E D C B F A 2 2、容斥原理、容斥原理(例 2) :图中阴影面积即为谷子形,是两个 扇形面积的和再减去正方形的面积。 阴影面积=2 =2 =8 拓展练习拓展练习:1 1矩形 ABCD 中,AB=6,BC=4,扇形 ABE 半径 AE=6,扇形 BCF 的半径 CB=4,求阴影面积?( 取 3) (提示:扇形 ABE+扇形 BCF-矩形 ABCD=15) 2 2尖子班学案 2,直角三角形中 AB=3,AC=4.BC=5,求阴影面积。 ( 取 3) (提示:左半圆+右半圆+三角形 ABC-大半圆=6) 3 3、平移法、平移法和等积变形和等积变形(例 4,例 5) 例 4、将两空白面积和在一起即为正方形,则阴影面积=长方形-正方形=4 例 5、连接 AC,DF,则四边形 ACFD 为题型,AC 平行 DF,所以三角形等积变形原来的 ADF 面积变为 CDF 的面积,则整个阴 影面积即为扇形 CDF 的面积。阴影面积= 3.14 =113.04 4 4、旋转法、旋转法(例 6) 旋转法是本讲的重点与难点,对于“羊吃草”的问题还是比较简单的。关键是直线型旋转面积,学员无法想到旋转法是本讲的重点与难点,对于“羊吃草”的问题还是比较简单的。关键是直线型旋转面积,学员无法想到 直线旋转后所扫发到过的面积,其实,由教师讲解后你会发现,一般情况下直线所扫过一周的面积(有特例,如:钝直线旋转后所扫发到过的面积,其实,由教师讲解后你会发现,一般情况下直线所扫过一周的面积(有特例,如:钝 角三角形的长边绕钝角顶点旋转时)就是一个圆环的面积。所以旋转多少度就再乘以角三角形的长边绕钝角顶点旋转时)就是一个圆环的面积。所以旋转多少度就再乘以 即可。 即可。 例 6,由第一个图可知:AC 边扫过的面积即为图中黄色面积,该黄色面积是如何得来得呢?点 A,C,分别绕 B 点 以 AB 和 CB 为半径旋转而来,因此直线 AC 上每一点都如此操作,知识旋转半径不同。 由第二个图可知:两红色面积是一样的。因为两扇形 FBC 和 BDG 面积是一样的,半径相同,角度也相同, 都被三角形 ABC 剪掉后,所剩部分也是相同的。 由第三个图可知:所求面积已转化为扇环的面积,圆心角度数为 120 度。所以 阴影= ( ) S= D F E BC A C B A G E D C B F A 五年级秋季班 第二讲 圆和扇形的周长与面积 曹威 第二讲 圆和扇形的周长和面积 2.3 D B A C E F G D B A C E A C O B 拓展练习: “羊吃草”问题拓展练习: “羊吃草”问题 草场上有一个长草场上有一个长 2020 米,宽米,宽 1010 米的关闭着的羊圈,在羊圈外的一角,用长米的关闭着的羊圈,在羊圈外的一角,用长 3030 米的绳子拴着一只羊,问这只羊能米的绳子拴着一只羊,问这只羊能 够活动的最大范围是多少?(够活动的最大范围是多少?( ) 分析:如图,羊活动的范围是受绳子的牵制的,所以羊活动的最大范围即绳子 AE 所扫过的总面积。 (三部分) (1) 红色部分为按绳长 30 米所能达到的最大范围(绳子不受任何牵制) ,此图形为半径 30, 圆心角 270 度的扇形。 (2) 黄色部分为按绳长 10 米所能达到的最大范围(绳子受点 D 牵制) ,所以之后只能按半径 AE-AD=DG=10,圆心角 90 度的扇形活动。 (3) 蓝色部分与黄色部分相同,半径变为 AE-AB=BF=20,圆心角 90 度的扇形。 S= + + = =2400 三、三、 本讲拓展练习本讲拓展练习 (一)周长计算(一)周长计算 1、 1 已知圆的半径为 5,求其直径、周长、面积? 2 已知圆的直径为 14,求其半径、周长、面积? 3 已知圆的周长为 12.56,求其半径、直径、面积? 4 已知圆的面积为 200.96,求其半径、直径、周长? 2、ABC 恰好把圆周分为三等分,有两只蚂蚁,一只从 A 出发,顺着圆周爬回远处 A,另一只从 A 出发沿着弧 AOB、 弧 BOC、弧 COA、爬回远处 A.若它们爬行的速度一样快,那么哪只蚂蚁先爬回到远处 A? 分析:因为分析:因为 A A、B B、C C 三点为三等分点所以弧三点为三等分点所以弧 AOBAOB、弧、弧 BOCBOC、弧、弧 COACOA、的和即为圆周长。所以两、的和即为圆周长。所以两 只蚂蚁一起回到只蚂蚁一起回到 A A 处。处。 3、一个直径为 厘米的圆,在圆的直径上有一条曲线,它是由五个半圆弧构成的,五个半圆的圆心都在直径 AB 上 ,求这条曲线的长? 分析:此题同例分析:此题同例 1 1,五小圆直径和等于大圆直径,所以五小圆的周长和也等于大圆的周长,则,五小圆直径和等于大圆直径,所以五小圆的周长和也等于大圆的周长,则 五小圆的周长一半也等于大圆周长的一半。即五小圆的周长一半也等于大圆周长的一半。即 =10 =10 (二)(二)面积计算面积计算( ( ) ) 1 1、 割补法割补法 (1) 半圆的直径为 20 厘米,以直径的一段为圆心,画一个圆心角为 45 度的扇形, 求阴影部分的面积? S=S= 3 3 1010 AB 五年级秋季班 第二讲 圆和扇形的周长与面积 曹威 第二讲 圆和扇形的周长和面积 2.4 E D C A B D C AB (2) 等腰直角三角形的直角边长为 8 厘米,以两条直角边为直径画半圆,求阴影面积? 分析:将虚线半圆绕分析:将虚线半圆绕 A A 点逆时针旋转点逆时针旋转 9090 度,点度,点 B B 落在落在 B B点,则阴影面积为大圆减去中间正方形面积。点,则阴影面积为大圆减去中间正方形面积。 S=S= - -4 4 =16=16 (3) 正方形边长 AB=8,其中 AC=6,求阴影面积? 分析:正方形被对角线平分后是一个对称图形,所以两阴影合并后形成长方形分析:正方形被对角线平分后是一个对称图形,所以两阴影合并后形成长方形 S=2S=2 2 2、容斥原理、容斥原理 (1) 正方形边长为 4,求阴影面积?(同例 2,分析略) (2) 三角形 ABC 为等腰直角三角形,直角 AB 边为 10,以 AB 为直径做半圆与斜边 BC 交于 D 点,CA 为半径做弧与斜边交 于 E 点,求阴影面积? 分析:此图形阴影面积应为扇形分析:此图形阴影面积应为扇形 ACE+ACE+半圆半圆 ADEADE- -等腰直角三角形等腰直角三角形 ABC=ABC=2525 3 3、平移、平移 (1) 长方形的长宽分别为 4 和 2,求阴影面积? 分析:分析:阴影面积可分为阴影面积可分为弓形和三角形,其中三角形弓形和三角形,其中三角形 ABDABD 可等积变形,可等积变形,点点 B B 沿沿 BCBC 移到移到 C C 点面积不变(点面积不变(对角线对角线 ADAD 平行平行 BCBC) 。最后阴) 。最后阴影面积转化为扇形影面积转化为扇形 ADCADC 的面积。的面积。 S=S= (2) BC 是半径为 6 的圆 O 上的弦,且 BC 的长度与半径相等,A 为圆外一点,OA=12,且 OA 与 BC 平行,求阴影面积?
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