辽宁省沈阳市东北育才学校2016-2017学年高二数学上学期第二次阶段考试试题理20162017学年度上学期高二年级第二阶段测试数学(理科)试卷答题时间：120分钟 满分：150分一、选择题：（每题5分，满分60分）1的顶点，的周长为22，则顶点的轨迹方程是ABCD2如图是谢宾斯基三角形，在所给的四个三角形图案中，黑色的小三角形个数构成数列的前4项，则的通项公式可以是ABCD3已知正方体，点是的中点，点是的三等分点，且，则等于ABC D4已知数列满足，前项的和为，关于叙述正确的是A都有最小值B都没有最小值C都有最大值D都没有最大值5已知等比数列中，等差数列中，则数列的前9项和等于A9B18C36D726数列的前项的和为ABCD7过空间中一定点，作一条直线，使其与某正方体六个面所成的角都相等，这样的直线共有A1条B2条C4条D无数条8已知点为抛物线的焦点，为原点，点是抛物线准线上一动点，点在抛物线上，且，则的最小值为A6BCD9已知为椭圆的左、右焦点，以原点为圆心，半焦距为半径的圆与椭圆相交于四个点，设位于轴右侧的两交点为，若为等边三角形，则椭圆的离心率为 ABCD10在棱长为1的正方体中，为棱的中点，为棱的中点则异面直线与所成角的余弦值是ABCD11已知圆的方程为，若抛物线过点，且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程为ABCDADOBCA1B1C112椭圆的两个焦点分别为和，若该椭圆与直线有公共点，则其离心率的最大值为ABCD二、填空题：（每题5分，满分20分）13数列的通项公式，它的前项和，则 14在平面直角坐标系中，已知的顶点和，顶点在椭圆上，则 15已知，为空间中一点，且，则直线与平面所成角的正弦值为 16 已知为双曲线的左右焦点，抛物线与双曲线有公共的焦点，且与双曲线交于不同的两点，若，则双曲线的离心率为 .三、解答题：（共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）17（本小题满分10分）ABCDA1B1C1D1EFxyz若数列的前项和为，求以及18（本小题满分12分）设点，分别是棱长为2的正方体的棱，的中点如图，以为坐标原点，为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系（I）求；（II）若点，分别是线段与线段上的点，问是否存在直线，使得平面？若存在，求点，的坐标；若不存在，请说明理由19（本小题满分12分）已知数列的前项和为，是等差数列，且（I）求数列和的通项公式；（II）令，求数列的前项和20（本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，焦距为，抛物线的焦点是椭圆的顶点（I）求与的标准方程；（II）已知直线与相切，与交于，两点，且满足，求的值21（本小题满分12分）ADOBCA1B1C1在三棱柱中，侧面为矩形，在棱上，且，与交于点，且平面ADOBCA1B1C1（I）证明：；（II）若，求直线与平面所成角22（本小题满分12分）已知椭圆的短轴长等于焦距，长轴长为等于圆的直径，过点的直线与椭圆交于两点，与圆交于两点，（I）求椭圆的方程；（II）求的取值范围20162017学年度上学期高二年级第二阶段测试数学试卷答案一、选择题：（每题5分，满分60分）CADAB BCCBB CC二、填空题：（每题5分，满分20分）13 99 14 15 16三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17（本小题满分10分）若数列的前项和为，求以及解：（1）Sn+an=2n，Sn1+an1=2（n1），n2 由得，2anan1=2，n2， 3分2（an2）=an12，n2， a12=1，数列an2以1为首项，为公比的等比数列6分， ， 8分ABCDA1B1C1D1EFxyzSn+an=2n， 10分18（本小题满分12分）设点，分别是棱长为2的正方体的棱，的中点如图，以为坐标原点，为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系（）求；（）若点，分别是线段与线段上的点，问是否存在直线，使得平面？若存在，求点，的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）在给定空间直角坐标系中，相关点及向量坐标为A1（2，0，2），E（1，2，0），D1（0，0，2），F（2，2，1），=（1，2，2）,=（2，2，1）， 2分所以 4分（2）存在唯一直线MN，MN平面ABCD 设，且，则，所以， 故 8分若MN平面ABCD，则与平面ABCD的法向量（0，0，1）平行，所以，解得所以点M，N的坐标分别是， 12分19（本小题满分12分）已知数列的前项和为，是等差数列，且（）求数列和的通项公式；（）令，求数列的前项和解：（）Sn=3n2+8n，n2时，an=SnSn1=6n+5，n=1时，a1=S1=5，； 3分设公差为an=bn+bn+1，an1=bn1+bn，anan1=bn+1bn12d=6，d=3，a2=b2+b3，17=2b21+3，b2=7，bn=3n+1； 6分（）cn=3（n+1）2n，Tn=322+322+（n+1）2n，2Tn=3222+323+n2n+（n+1）2n+1，可得Tn=322+22+23+2n（n+1）2n+1=6+363（n+1）2n+1=（3n）2n+1Tn=3n2n+1 12分20（本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，焦距为，抛物线的焦点是椭圆的顶点（）求与的标准方程；（）已知直线与相切，与交于，两点，且满足，求的值解：（I）设椭圆C1的焦距为2c，依题意有，解得，b=1，故椭圆C1的标准方程为3分又抛物线C2：x2=2py（p0）开口向上，故F是椭圆C1的上顶点，F（0，1），p=2，故抛物线C2的标准方程为x2=4y 4分（II）由，得 则，即 6分由，得则 设P（x1，y1），Q（x2，y2），则 所以 8分又即，解得或， 10分代入可得，此时满足故 12分21（本小题满分12分）ADOBCA1B1C1在三棱柱中，侧面为矩形，在棱上，且，与交于点，且平面（）证明：；（）若，求直线与平面所成角（I）证明：由题意，因为ABB1A1是矩形，AB=2，AA1=4，AD=1，所以在直角三角形ABB1中，tanAB1B=，在直角三角形ABD中，tanABD=，所以AB1B=ABD，又BAB1+AB1B=90，BAB1+ABD=90，所以在直角三角形ABO中，故BOA=90，即BDAB1， 3分又因为CO侧面ABB1A1，AB1侧面ABB1A1，所以COAB1所以，AB1面BCD，因为BC面BCD，所以BCAB1 6分（）解：如图，以O为原点，以OD，OB1，OC所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0），B（，0，0），C（0，0，），D（，0，0），所以=（，0），=（，0，），设平面ABC的法向量为=（x，y，z），则根据，令，则，则，9分又设直线CD与平面ABC所成角为，则所以直线CD与平面ABC所成角为 12分22（本小题满分12分）已知椭圆的短轴长等于焦距，长轴长为等于圆的直径，过点的直线与椭圆交于两点，与圆交于两点，（）求椭圆的方程；（）求的取值范围解：（）因为椭圆C长轴长等于圆R：x2+（y2）2=4的直径，所以2a=4，a=2；又所以所以椭圆C的方程为+=1； （3分）（）当直线l的斜率不存在时，|AB|=2，|MN|=4，|AB|MN|=8；4分当直线l的斜率存在时，设l的方程为y=kx+1，与+=1联立，消去y，得（1+2k2）x2+4kx2=0；由，可得 5分设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，|AB|=|x1x2|=， 7分|MN|=2=2， 9分所以|AB|MN|=2=4=综上，|AB|MN|的取值范围是4，8 12分13 / 13