第第 1 1 讲讲 找找 规规 律（一）律（一） 一、知识要点一、知识要点 观察是解决问题的根据。通过观察，得以揭示出事物的发展和变化规律，在一般情况下，我 们可以从以下几个方面来找规律： 1根据每组相邻两个数之间的关系，找出规律，推断出所要填的数； 2根据相隔的每两个数的关系，找出规律，推断出所要填的数； 3要善于从整体上把握数据之间的联系，从而很快找出规律； 4数之间的联系往往可以从不同的角度来理解，只要言之有理，所得出的规律都可以认为是 正确的。 二、精讲精练二、精讲精练 【例题例题 1】1】 先找出下列数排列的规律，并根据规律在括号里填上适当的数。 1，4，7，10，（ ），16，19 【思路导航思路导航】在这列数中，相邻的两个数的差都是 3，即每一个数加上 3 都等于后面的数。 根据这一规律，括号里应填的数为：10+3=13 或 163=13。 像上面按照一定的顺序排列的一串数叫做数列。 练习练习 1 1：先找出下列各列数的排列规律，然后在括号里填上适当的数。 （1）2，6，10，14，（ ），22，26 （2）3，6，9，12，（ ），18，21 （3）33，28，23，（ ），13，（ ），3 （4）55，49，43，（ ），31，（ ），19 （5）3，6，12，（ ），48，（ ），192 （6）2，6，18，（ ），162，（ ） （7）128，64，32，（ ），8，（ ），2 （8）19，3，17，3，15，3，（ ），（ ），11，3. 【答案答案】（1）18（2）15（3）18,8（4）37,25（5）24,96（6）54,486（7）16,4（8）13,3 【例题例题 2】2】先找出下列数排列的规律，然后在括号里填上适当的数。1，2，4，7，（ ）， 16，22 【思路导航思路导航】在这列数中，前 4 个数每相邻的两个数的差依次是 1，2，3。由此可以推算 7 比括号里的数少 4，括号里应填：7+4=11。经验证，所填的数是正确的。 应填的数为：7+4=11 或 16-5=11。 练习练习 2 2：先找出下列数排列的规律，然后在括号里填上适当的数。 （1）10，11，13，16，20，（ ），31 （2）1，4，9，16，25，（ ），49，64 （3）3，2，5，2，7，2，（ ），（ ），11，2 （4）53，44，36，29，（ ），18，（ ），11，9，8 （5）81，64，49，36，（ ），16，（ ），4，1，0 （6）28，1，26，1，24，1，（ ），（ ），20，1 （7）30，2，26，2，22，2，（ ），（ ），14，2 （8）1，6，4，8，7，10，（ ），（ ），13，14 【答案答案】（1 1）2525（2 2）3636（3 3）9,29,2（4 4）23,1423,14（5 5）25,925,9（6 6）22,122,1（7 7）18,218,2（8 8）10,1210,12 【例题例题 3】3】先找出规律，然后在括号里填上适当的数。 23，4，20，6，17，8，（ ），（ ），11，12 【思路导航思路导航】在这列数中，第一个数减去 3 的差是第三个数，第二个数加上 2 的和是第四个 数，第三个数减去 3 的差是第五个数，第四个数加上 2 的和是第六个数依此规律，8 后面的 一个数为：17-3=14，11 前面的数为：8+2=10 练习练习 3 3：先找出规律，然后在括号里填上适当的数。 （1）1，6，5，10，9，14，13，（ ），（ ） （2）13，2，15，4，17，6，（ ），（ ） （3）3，29，4，28，6，26，9，23，（ ），（ ），18，14 （4）21，2，19，5，17，8，（ ），（ ） （5）32，20，29，18，26，16，（ ），（ ），20，12 （6）2，9，6，10，18，11，54，（ ），（ ），13，486 （7）1，5，2，8，4，11，8，14，（ ），（ ） （8）320，1，160，3，80，9，40，27，（ ），（ ） 【答案答案】（1 1）18,1718,17（2 2）19,819,8（3 3）13,1913,19（4 4）15,1115,11（5 5）23,1423,14（6 6）12,16212,162（7 7） 16,1716,17（8 8）20,8120,81 【例题例题 4】4】在数列 1，1，2，3，5，8，13，（ ），34，55中，括号里应填什么数？ 【思路导航思路导航】经仔细观察、分析，不难发现：从第三个数开始，每一个数都等于它前面两个 数的和。根据这一规律，括号里应填的数为：8+13=21 或 3413=21 上面这个数列叫做斐波那切（意大利古代著名数学家）数列，也叫做“兔子数列”。 练习练习 4 4：先找出规律，然后在括号里填上适当的数。 （1）2，2，4，6，10，16，（ ），（ ） （2）34，21，13，8，5，（ ），2，（ ） （3）0，1，3，8，21，（ ），144 （4）3，7，15，31，63，（ ），（ ） （5）33，17，9，5，3，（ ） （6）0，1，4，15，56，（ ） （7）1，3，6，8，16，18，（ ），（ ），76，78 （8）0，1，2，4，7，12，20，（ ） 【答案答案】（1 1）26,4226,42（2 2）3,13,1（3 3）5555（4 4）127,255127,255（5 5）1,21,2（6 6）209209（7 7）36,3836,38（8 8）3333 【例题例题 5】5】下面每个括号里的两个数都是按一定的规律组合的，在里填上适当的数。 （8，4）（5，7）（10，2）（，9） 【思路导航思路导航】经仔细观察、分析，不难发现：每个括号里的两个数相加的和都是 12。根据这 一规律，里所填的数应为：129=3 练习练习 5 5：下面括号里的两个数是按一定的规律组合的，在里填上适当的数。 （1）（6，9）（7，8）（10，5）（，13） （2）（1，24）（2，12）（3，8）（4，） （3）（18，17）（14，10）（10，1）（，5） （4）（1，3）（5，9）（7，13）（9，） （5）（2，3）（5，7）（7，10）（10，） （6）（64，62）（48，46）（29，27）（15，） （7）（100，50）（86，43）（64，32）（，21） （8）（8，6）（16，3）（24，2）（12，） 【答案答案】（1 1）2 2（2 2）6 6（3 3）2121（4 4）1717（5 5）1414（6 6）1313（7 7）4242（8 8）4 4 第第 2 2 讲讲 找找 规规 律（二）律（二） 一、知识要点一、知识要点 对于较复杂的按规律填数的问题，我们可以从以下几个方面来思考： 1.对于几列数组成的一组数变化规律的分析，需要我们灵活地思考，没有一成不变的方法， 有时需要综合运用其他知识，一种方法不行，就要及时调整思路，换一种方法再分析； 2.对于那些分布在某些图中的数，它们之间的变化规律往往与这些数在图形中的特殊位置有 关，这是我们解这类题的突破口。 3.对于找到的规律，应该适合这组数中的所有数或这组算式中的所有算式。 二、精讲精练二、精讲精练 【例题例题 1】1】根据下表中的排列规律，在空格里填上适当的数。 【思路导航思路导航】经仔细观察、分析表格中的数可以发现：12+6=18，8+7=15，即每一横行中间的 数等于两边的两个数的和。依此规律，空格中应填的数为：4+8=12。 练习练习 1 1：找规律，在空格里填上适当的数。 【答案答案】（1 1）1313（2 2）2 2（3 3）2020 【例题例题 2】2】根据前面图形中的数之间的关系，想一想第三个图形的括号里应填什么数？ 【思路导航思路导航】经仔细观察、分析可以发现前面两个圈中三个数之间有这样的关系： 51210=6 42010=8 根据这一规律，第三个圈中右下角应填的数为：83010=24. 练习练习 2 2：根据前面图形中数之间的关系，想一想第三个图形的空格里应填什么数。 （1） （2） （3） 【答案答案】（1 1）1515（2 2）7 7（3 3）6060，2020 【例题例题 3】3】先计算下面一组算式的第一题，然后找出其中的规律，并根据规律直接写出后几 题的得数。123456799= 1234567918= 1234567954= 1234567981= 【思路导航思路导航】题中每个算式的第一个因数都是 12345679，它是有趣的“缺 8 数”，与 9 相乘， 结果是由九个 1 组成的九位数，即：111111111。不难发现，这组题得数的规律是：只要看每道算 式的第二个因数中包含几个 9，乘积中就包含几个 111111111。 因为：123456799=111111111 所以：1234567918=1234567992=222222222 1234567954=1234567996=666666666 1234567981=1234567999=999999999. 练习练习 3 3：找规律，写得数。 （1） 1+09= 2+19= 3+129= 4+1239= 9+123456789= （2） 11= 1111= 111111= 111111111111111111= （3）19+99= 118+989= 1117+9879= 11116+98769= 111115+987659= 【答案答案】（1 1）1,11,111,1111,1111111111,11,111,1111,111111111（2 2）1,121,12321,123456789876543211,121,12321,12345678987654321 （3 3）100,1000,10000,100000,1000000100,1000,10000,100000,1000000 【例题例题 4】4】找规律计算。（1） 8118=（81）9=79=63 （2） 7227=（72）9=59=45 （3） 6336=（）9=9= 【思路导航思路导航】经仔细观察、分析可以发现：一个两位数与交换它的十位、个位数字位置后的 两位数相减，只要用十位与个位数字的差乘 9，所得的积就是这两个数的差。 练习练习 4 4： 1利用规律计算。 （1）5335 （2）8228 （3）9229 （4）6116 （5）9559 2找规律计算。（1） 62+26=（6+2）11=811=88（2） 87+78=（8+7）11=1511=165 （3） 54+45=（+）11=11= 【答案答案】1.】1.（1 1）1818（2 2）5454（3 3）6363（4 4）4545（5 5）3636 2.54+45=2.54+45=（5+45+4）11=911=9911=911=99 【例题例题 5】5】计算（1）2611 （2）3811 【思路导航思路导航】一个两位数与 11 相乘，只要把这个两位数的两个数字的和插入这两个数字中间， 就是所求的积。（1） 261