第 1 页 共 29 页 备战中考：二次函数知识点 一、基本概念： 1二次函数的概念：一般地，形如 2 yaxbxc（abc， ，是常数，0a）的函数，叫做二次函数。这里需 要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a，而bc，可以为零二次函数的定义域是全体实数 2. 二次函数 2 yaxbxc的结构特征： 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2 abc， ，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项 二、基本形式 1. 二次函数基本形式： 2 yax的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2 yaxc的性质：（上加下减） 3. 2 ya xh的性质：（左加右减） a的符号开口方向 顶点坐 标 对称 轴 性质 0a向上 00， y 轴 0 x时，y 随x的增大而增大；0 x时，y 随 x的增大而减小；0 x时， y 有最小值 0 0a向下 00， y 轴 0 x时，y 随x的增大而减小；0 x时，y 随 x的增大而增大；0 x时， y 有最大值 0 a的符号开口方向 顶点坐 标 对称 轴 性质 0a向上 0c， y轴 0 x时，y 随x的增大而增大；0 x时，y 随 x的增大而减小；0 x时， y 有最小值c 0a向下 0c，y 轴 0 x时，y 随x的增大而减小；0 x时，y 随 x的增大而增大；0 x时， y 有最大值c a的符号开口方向顶点坐对称性质 第 2 页 共 29 页 4. 2 ya xhk的性质： 三、二次 函 数图象 的 平移 平移步1. 骤： 方法 1： 将抛物线解析式转化成顶点式 2 ya xhk，确定其顶点坐标 hk，； 保持抛物线 2 yax的形状不变，将其顶点平移到hk，处，具体平移方法如下： 向右(h0)【或左 (h0)【或下 (k0)【或左 (h0)【或左 (h0)【或下 (k0)【或向下 (k0)】平移 |k|个单位 y=a(x-h)2+k y=a(x-h)2 y=ax 2+k y=ax2 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h值正右移， 负左移；k值正上移， 负下移 ” 概括成八个字 “左加右减， 上加下减” 方法 2： cbxaxy 2 沿y轴平移 :向上（下）平移m个单位，cbxaxy 2 变成 mcbxaxy 2 （或mcbxaxy 2 ） cbxaxy 2 沿轴平移：向左（右）平移 m个单位，cbxaxy 2 变成 cmxbmxay)()( 2 标轴 0a向上 0h， X=h xh 时， y随x的增大而增大；xh 时， y 随x的增大而减小；xh时， y 有最小值 0 0a向下 0h， X=h xh 时， y随x的增大而减小；xh 时， y 随x的增大而增大；xh时， y 有最大值 0 a的符号开口方向 顶点坐 标 对称 轴 性质 0a向上 hk，X=h xh 时， y随x的增大而增大；xh 时， y 随x的增大而减小；xh时， y 有最小值 k 0a向下 hk， X=h xh 时， y随x的增大而减小；xh 时， y 随x的增大而增大；xh时， y 有最大值 k 第 3 页 共 29 页 （或cmxbmxay)()( 2 ） 四、二次函数 2 ya xhk与 2 yaxbxc的比较 从解析式上看， 2 ya xhk与 2 yaxbxc是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即 2 2 4 24 bacb ya x aa ，其中 2 4 24 bacb hk aa ， 五、二次函数 2 yaxbxc图象的画法 五点绘图法： 利用配方法将二次函数 2 yaxbxc化为顶点式 2 ()ya xhk，确定其开口方向、 对称轴及顶点坐标， 然后在对称轴两侧， 左右对称地描点画图. 一般我们选取的五点为： 顶点、与y轴 的交点0c，、以及0c，关于对称轴对称的点2hc，、与x轴的交点 1 0 x ， 2 0 x ，（若与x轴没有 交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点 . 六、二次函数 2 yaxbxc的性质 1. 当0a时，抛物线开口向上，对称轴为 2 b x a ，顶点坐标为 2 4 24 bacb aa ， 当 2 b x a 时， y 随x的增大而减小；当 2 b x a 时， y 随x的增大而增大；当 2 b x a 时， y有最小值 2 4 4 acb a 2. 当0a时，抛物线开口向下，对称轴为 2 b x a ，顶点坐标为 2 4 24 bacb aa ，当 2 b x a 时， y 随x的 增大而增大；当 2 b x a 时， y 随x的增大而减小；当 2 b x a 时， y 有最大值 2 4 4 acb a 七、二次函数解析式的表示方法 1. 一般式： 2 yaxbxc（a， b，c为常数，0a） ； 2. 顶点式： 2 ()ya xhk（a， h， k 为常数，0a） ； 3. 两根式： 12 ()()ya xxxx（0a， 1 x， 2 x是抛物线与x轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有 抛物线与x轴有交点，即 2 40bac时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三 种形式可以互化 . 八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a 二次函数 2 yaxbxc中，a作为二次项系数，显然0a 当0a时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大； 第 4 页 共 29 页 当 0a 时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大 总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小 2. 一次项系数 b 在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴 在0a的前提下， 当 0b 时，0 2 b a ，即抛物线的对称轴在 y轴左侧； 当0b时，0 2 b a ，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b时，0 2 b a ，即抛物线对称轴在y 轴的右侧 在0a的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b时，0 2 b a ，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b时，0 2 b a ，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b时，0 2 b a ，即抛物线对称轴在y 轴的左侧 总结起来，在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置 ab的符号的判定：对称轴 a b x 2 在y轴左边则0ab，在y轴的右侧则0ab，概括的说就是“左 同右异” 总结： 3. 常数项c 当0c时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正； 当0c时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为 0； 当0c时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负 总结起来，c决定了抛物线与y 轴交点的位置 总之，只要 abc， ，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的 二次函数解析式的确定： 根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法用待定系数法求二次函数的解析式必须根据 题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便一般来说，有如下几种情况： 1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式； 2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式； 3. 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式； 4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式 九、二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 第 5 页 共 29 页 1. 关于x轴对称 2 yaxbxc关于x轴对称后，得到的解析式是 2 yaxbxc； 2 ya xhk关于x轴对称后，得到的解析式是 2 ya xhk； 2. 关于 y 轴对称 2 yaxbxc关于 y 轴对称后，得到的解析式是 2 yaxbxc； 2 ya xhk关于 y轴对称后，得到的解析式是 2 ya xhk； 3. 关于原点对称 2 yaxbxc关于原点对称后，得到的解析式是 2 yaxbxc； 2 ya xhk关于原点对称后，得到的解析式是 2 ya xhk； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180） 2 yaxbxc关于顶点对称后，得到的解析式是 2 2 2 b yaxbxc a ； 2 ya xhk关于顶点对称后，得到的解析式是 2 ya xhk 5. 关于点mn，对称 2 ya xhk关于点mn，对称后，得到的解析式是 2 22ya xhmnk 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永远不变求抛 物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物 线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再 写出其对称抛物线的表达式 十、二次函数与一元二次方程： 1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x轴交点情况）： 一元二次方程 2 0axbxc是二次函数 2 yaxbxc当函数值0y时的特殊情况 . 图象与x轴的交点个数： 当 2 40bac时，图象与x轴交于两点 12 00A xB x， 12 ()xx，其中的 12 xx，是一元二次方程 2 00axbxca的两根这两点间的距离 2 21 4bac ABxx a . 当0时，图象与x轴只有一个交点； 当0时，图象与x轴没有交点 . 1当0a时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有0y； 第 6 页 共 29 页 2 当0a时，图象落在 x轴的下方，无论x为任何实数，都有0y 2. 抛物线 2 yaxbxc的图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，)c； 3. 二次函数常用解题方法总结： 求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； 根据图象的位置判断二次函数 2 yaxbxc中a， b，c的符号，或由二次函数中a， b，c的符号判断 图象的位置，要数形结合； 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个 交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式 2 (0)axbxc a本身就是所含字母x的二次函数； 下面 以0a时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系： 二次函数考查重点与常见题型 1 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如： 已知以x为自变量的二次函数2)2( 22 mmxmy的图像经过原点，则m的值是 2 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个 函数的图像，试题类型为选择题，如： 如图，如果函数bkxy的图像在第一、二、三象限内，那么函数1 2 bxkxy的图像大致是（） y y y y 1 1 0 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D 0抛物线与x轴有 两个交点 二次三项式的值可正、 可零、可负 一元二次方程有两个不相等实根 0 抛物线与x轴只 有一个交点 二次三项式的值为非 负 一元二次方程有两个相等的实数根 0抛物线与x轴无 交点 二次三项式的值恒为 正 一元二次方程无实数根. 第 7 页 共 29 页 3 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性 的综合题，如： 已知一条抛物线经过(0,3) ，(4,6) 两点，对称轴为 3 5 x，求这条抛物线的解析式。 4 考查用配方法求抛物线