二维形式的柯西不等式（二）教学目标：会利用二维柯西不等式及三角不等式解决问题，体会运用经典不等式的一般方法发现具体问题与经典不等式之间的关系，经过适当变形，依据经典不等式得到不等关系.教学重点：利用二维柯西不等式解决问题.教学难点：如何变形，套用已知不等式的形式.教学过程：一、复习引入：1. 提问：二维形式的柯西不等式、三角不等式？ 几何意义？ 答案：；2. 讨论：如何将二维形式的柯西不等式、三角不等式，拓广到三维、四维？3. 如何利用二维柯西不等式求函数的最大值? 要点：利用变式.二、讲授新课：1. 最大（小）值： 出示例1：求函数的最大值？ 分析：如何变形？ 构造柯西不等式的形式 板演 变式： 推广： 练习：已知，求的最小值. 解答要点：（凑配法）. 讨论：其它方法 （数形结合法）2. 不等式的证明： 出示例2：若，求证：.分析：如何变形后利用柯西不等式？ （注意对比 构造） 要点： 讨论：其它证法（利用基本不等式） 练习：已知、，求证：.三、应用举例：例1已知a1,a2,an都是实数，求证：分析：用n乘要证的式子两边，能使式子变成明显符合柯西不等式的形式。例2已知a，b，c，d是不全相等的实数，证明：a2 + b2 + c2 + d2 ab + bc + cd + da 分析：上式两边都是由a,b,c,d这四个数组成的式子，特别是右边式子的字母排列顺序启发我们，可以用柯西不等式进行证明。分析：由形式，联系柯西不等式，可以通过构造（12+22+32）作为一个因式而解决问题。四、巩固练习：1. 练习：教材P37 8、9题 练习：1设x，y，z为正实数，且x+y+z=1，求的最小值。 2已知a+b+c+d=1，求a2+b2+c2+d2的最小值。 3已知a，b，c为正实数，且a+2b+3c=9，求的最大值。选做：4已知a，b，c为正实数，且a2+2b2+3c2=6，求a+b+c的最小值。（08广一模） 5已知a，b，c为正实数，且a+2b+c=1，求的最小值。（08东莞二模） 6已知x+y+z=，则m=x2+2y2+z2的最小值是_.(08惠州调研)五、布置作业：教材P37 1、6、7题 已知，且，则的最小值. 要点：. 其它证法 若，且，求的最小值. （要点：利用三维柯西不等式）变式：若，且，求的最大值.六、课堂小结：比较柯西不等式的形式，将目标式进行变形，注意凑配、构造等技巧. - 3 -