竞赛讲座16不等式不等式是数学竞赛的热点之一。由于不等式的证明难度大，灵活性强，要求很高的技巧，常常使它成为各类数学竞赛中的“高档”试题。而且，不论是几何、数论、函数或组合数学中的许多问题，都可能与不等式有关，这就使得不等式的问题（特别是有关不等式的证明）在数学竞赛中显得尤为重要。证明不等式同大多数高难度的数学竞赛问题一样，没有固定的模式，证法因题而异，灵活多变，技巧性强。但它也有一些基本的常用方法，要熟练掌握不等式的证明技巧，必须从学习这些基本的常用方法开始。一、不等式证明的基本方法1比较法比较法可分为差值比较法和商值比较法。（1）差值比较法原理 A B0AB【例1】（l）m、n是奇偶性相同的自然数，求证：（ambm）（anbn）2（am+n+bm+n）。（2）证明：。【例2】设a1a2an，b1b2bn，j1,j2,jn是1,2,n的任意一个排列，令S=a1+ a2+ an，S0=a1bn+a2bn-1+anb1，S1=a1b1+a2b2+anbn。求证：S0SS1。（2）商值比较法原理 若1，且B0，则AB。【例3】已知a,b,c0，求证：a2ab2bc2cab+cbc+aca+b。2分析法【例4】若x,y0，求证：。【例5】若a,b,c是ABC的三边长，求证：a4+b4+c40，求证：abc(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)。【例7】已知ABC的外接圆半径R=1，SABC=，a,b,c是ABC的三边长，令S=，t=。求证：tS。4反证法【例8】已知a3+b3=2，求证：a+b2。5数学归纳法【例9】证明对任意自然数n，。二、不等式证明的若干技巧无论用什么方法来证明不等式，都需要对数学表达式进行适当的变形。这种变形往往要求具有很高的技巧，必须善于分析题目的特征，根据题设条件，综合地利用添、拆、分解、组合、配方、变量代换、数形结合等方法才能发现问题的本质，找到突破口。1 变形技巧【例1】若nN，S=+，求证：nSn+1。【例2】（1）若A、B、C0，求证：sinA+sinB+sinC3sin。（2）ABC的三内角平分线分别交其外接圆于A,B,C，求证：SABCSABC。2 引入参变量【例3】将一块尺寸为4870的矩形铁皮剪去四角小正方形后折成一个无盖长方体铁盒，求铁盒的最大容积。【例4】在ABC中，求证：a2+b2+c24+(b-c)2+(c-a)2+(a-b)2。其中，a,b,c是ABC的三边长，= SABC。3 数形结合、构造【例5】证明：。4 递推【例6】已知：x1=，x2=，xn=。求证：。三、放缩法【例1】若nN，n2，求证：。【例2】、都是锐角，求证：9。【例3】已知：a11，a1 a21，a1 a2an1，求证：。【例4】S=1+，求S的整数部分S。【例5】设a0=5，an=an-1+，n=1,2,。求证：45a100045.1。用心 爱心 专心