北京市西城区（南区）20122013学年度第一学期高二年级期末考试数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1. 若为假命题，则A. 命题与的真值不同B. 命题与至少有一个假命题C. 命题与都是假命题D. 命题与都是真命题 2. 过点（1，3）且平行于直线的直线方程为A. B. C. D. 3. 圆和圆的位置关系是 A. 外切B. 内切C. 外离D. 内含 4. 椭圆的离心率为 A. B. C. D. 5. 双曲线的渐近线方程是 A. B. C. D. 6. 准线为x=2的抛物线的标准方程是 A. B. C. D. 7. 关于直线l，m及平面，下列命题中正确的是A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则 8. 一正四棱锥各棱长均为a，则其表面积为A. B. C. D. 9. 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是A. B. C. D. 10. 如图，在正四面体中，D，E，F分别是棱AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是A. 平面PDFB. DF平面PAEC. 平面平面ABCD. 平面平面ABC 11. 已知的顶点B，C在椭圆上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则的周长是A. B. 6C. D. 12. 已知直线和直线，抛物线上一动点P到直线和直线的距离之和的最小值是A. 2B. 3C. D. 二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分。 13. 如图，三棱柱的侧棱长和底面边长均为2，且侧棱底面ABC，其正（主）视图是边长为2的正方形，则此三棱柱侧（左）视图的面积为_。 14. 若直线与圆有公共点，则实数a的取值范围是_。 15. 设双曲线的焦点在x轴上，两条渐近线方程为，则离心率e为_。 16. 如图，正的中线AF与中位线DE相交于点G，已知是绕边DE旋转形成的一个图形，且平面ABC，现给出下列命题：恒有直线平面；恒有直线平面；恒有平面平面。其中正确命题的序号为_。三、解答题：本大题共6小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17. （本小题满分6分）求经过点，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程。 18. （本小题满分6分）求以椭圆的焦点为焦点，且经过点P（1，）的椭圆的标准方程。 19. （本小题满分10分）已知圆C：内有一点P（2，2），过点P作直线l交圆C于A、B两点。（1）当l经过圆心C时，求直线l的方程；（2）当弦AB的长为时，写出直线l的方程。 20. （本小题满分8分）如图，PCBM是直角梯形，又，面ABC，直线AM与直线PC所成的角为，求二面角的平面角的余弦值。 21. （本小题满分10分）如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，底面ABCD，M、N分别为PA、BC的中点，且，CD=1（1）求证：平面PCD；（2）求证：平面平面PBD；（3）求三棱锥PABC的体积。 22. （本小题满分12分）已知椭圆的长轴长为4。（1）若以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线相切，求椭圆焦点坐标；（2）若点P是椭圆C上的任意一点，过原点的直线l与椭圆相交于M，N两点，记直线PM，PN的斜率分别为，当时，求椭圆的方程。【试题答案】一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分 1. D2. A3. A4. A5. C6. B7. C8. B9. A10. C11. C12. A二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分 13. 14. 3，1 15. 16. 三、解答题：本大题共6小题，共52分。（如有其他方法，仿此给分） 17. 解法一：当焦点在x轴时，设双曲线的标准方程为，把A（3，1）代入方程得，双曲线的标准方程为。 4分当焦点在y轴时，设双曲线的标准方程为，把A（3，1）代入方程得，这种情况不存在。 6分解法二：设双曲线的方程为（），代入方程得，双曲线的标准方程为。 6分 18. 由已知，。 2分设所求方程为，因为过P（1，）所以。 4分即，解得或（舍）为所求方程。 6分 19. （1）圆心坐标为（1，0），整理得。 4分（2）圆的半径为3，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，整理得，圆心到直线l的距离为，解得，代入整理得。 8分当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，经检验符合题意。直线l的方程为或。 10分 20. 在平面ABC内，过C作CDCB，建立空间直角坐标系（如图）由题意有A（，0），设（0，0，），（），则M（0，1，），=，由直线AM与直线PC所成的角为，得，即，解得（0，1，1），设平面MAC的一个法向量为，则，取，得=（1，）。 6分平面ABC的法向量为，又二面角MACB为锐角，二面角MACB的平面角余弦值为。 8分 21. （1）证明：取AD中点E，连接ME，NE，由已知M，N分别是PA，BC的中点，所以，又ME，平面MNE，所以，平面平面PCD，又因为平面MNE，所以，MN/平面PCD。 4分（2）证明：ABCD为正方形，所以，又平面ABCD，平面ABCD，所以，因为，所以平面PBD，又因为平面PAC，所以平面平面PBD。 8分（3）解：平面ABCD，所以PD为三棱锥的高，三角形ABC为等腰直角三角形，所以三棱锥的体积。 10分22. 解：（1）由得，又，两个焦点坐标为（，0），（，0）。 4分（2）由于过原点的直线l与椭圆相交的两点M，N关于坐标原点对称。不妨设，N（），M，N，P在椭圆上，则它们满足椭圆方程，即有，两式相减得：由题意它们的斜率存在，则，则，由得，故所求椭圆的方程为。 12分- 7 -